Hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung rất quan trọng và cần thiết dành cho các bạn học sinh lớp 7, lớp 8. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học chương 1 Đại số 8 cho tất cả học sinh phổ thông.
Bạn đang xem: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ toán 8
Hằng đẳng thức là tài liệu vô cùng hữu ích, tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết về 7 hằng đẳng thức, hệ quả, các dạng bài tập và một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ. Thông qua tài liệu này các bạn học sinh biết cách nhận dạng hoặc biến đổi hằng đẳng thức trong từng bài toán cụ thể. Từ đó học sinh quen dần việc chọn hằng đẳng thức để giải toán nếu có thể. Nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo doi tại đây.
Hằng đẳng thức: Lý thuyết và bài tập
I. Hằng đẳng thức đáng nhớII. Hệ quả hằng đẳng thứcIII. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớI. Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của một tổng
Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
Bình phương của một hiệu
Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
Hiệu của hai bình phương
Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.
Lập phương của một tổng
Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.
Lập phương của một hiệu
Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.
Tổng của hai lập phương
Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.
Hiệu của hai lập phương
Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
II. Hệ quả hằng đẳng thức
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3
Hệ quả tổng quát
Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức
Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.
III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thứcDạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.Dạng 7: Tìm giá trị của xDạng 8: Thực hiện phép tính phân thức...........Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
Giải.
Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
Vậy : A(-1) = 9
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
Giải.
B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x
= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x2 – 2x + 5
Giải.
Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
Suy ra : (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
Nên : Cmin= 4 khi x = 1
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = 4x – x2
Giải.
Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2
Mà : -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
Nên : Dmax= 4 khi x = 2.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Giải.
VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.
Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
F = x2 – 4x + 4 – y2
Giải.
Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2 <đẳng thức số 2>
= (x – 2 – y )( x – 2 + y) <đẳng thức số 3>
Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Bài 1: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Bài 2: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Bài 3: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Dạng 8 : Tìm x. biết :
x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
Giải.
x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0
( x – 3 ) (x2 – 4) = 0
( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0
( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0
x = 3 hay x = 2 hay x = –2
vậy : x = 3; x = 2; x = –2
Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức
Tính giá trị của phân thức M =
Giải.
ta có : M =
=
Khi x = -1 : M =
Vậy : M =
Xem thêm: Top 9 Trang Web Dịch Đoạn Văn Tiếng Việt Sang Tiếng Anh Chuẩn Nhất, Google Dịch
IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ
Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:
Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.V. Bài tập về hằng đẳng thức
Bài 1: Tính