Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là 7 đẳng thức cơ bản mà học sinh từ lớp 8 trở lên cần phải nắm vững để áp dụng vào giải các bài toán đại số.

Bạn đang xem: 7 hằng

Ngoài ra còn có những hằng đẳng thức mở rộng. Tất cả những đẳng thức này đều được sử dụng trong các bài toán liên quan đến biến đổi biểu thức, nhân chia các đa thức và giải phương trình tại cấp học THCS và THPT.

Ứng dụng thực tế nhất của việc ghi nhớ 7 hằng đẳng thức là giúp chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh gọn. Và dưới đây là bảy hẳng đẳng thức đáng nhớ.


Tóm tắt


1. Bình phương của 1 tổng

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a – b)2 + 4abGhi nhớ: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai

2. Bình phương của 1 hiệu

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = (a + b)2 – 4abGhi nhớ: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

3. Hiệu 2 bình phương

a2 – b2 = (a – b)(a + b)Ghi nhớ: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

4. Lập phương của 1 tổng

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Ghi nhớ: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.

5. Lập phương của 1 hiệu

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3Ghi nhớ: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai

6. Tổng 2 lập phương

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)Ghi nhớ: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó

7. Hiệu 2 lập phương


a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a – b)3 + 3ab(a – b)Ghi nhớ: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đây là các hệ thức liên quan được biến đổi từ 7 hằng đẳng thức cơ bản trên.

Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 2

(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac

Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2 b + an-3 b2 – an-4 b3 + … + a2bn-3 – abn-2 + bn-1)an – bn = (a – b)(an-1 + an-2 b + an-3 b2 + an-4 b3 + … + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)Với n là số lẻ thuộc N (tập hợp số tự nhiên)

Nhị thức Newton

Với a,b thuộc tập hợp số thực (R), n thuộc tập hợp số tự nhiên dương (N*)

Trong những hằng đẳng thức này, 1 bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc lũy thừa. Những đẳng thức này luôn được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia đa thức, biến đổi biểu thức tại từ cấp 2 đến cấp 3 và 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được in trong sách giáo khoa và được in rất nhiều trong bìa sau của vở viết cấp II hoặc cấp III của học sinh.

Xem thêm: Cơ Chế Bảo Mật Mạng Không Dây Nào Dưới Đây Là Ít An Toàn Nhất? ?

Mẹo nhớ các hằng đẳng thức

Nếu để ý, ta có thể nhận thấy rằng, các hằng đẳng thức: Bình phương của 1 tổng và 1 hiệu; Lập phương của 1 tổng và 1 hiệu; Tổng và Hiệu 2 lập phương đều khá tương tự nhau, chỉ khác nhau ở dấu. Vì vậy điều cần lưu ý ở đây chính là ghi nhớ dấu của chúng, từ đó ta có thể học thuộc một cách chính xác và không bị nhầm lẫn.

Đối với hằng đẳng thức Lập phương của 1 hiệu và Tổng 2 lập phương thì cần lưu ý đó chính là:

“ Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng”“Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu”