cách thức giải hệ phương trình Giải hệ phương trình siêng đề luyện thi Đại học tập môn Toán Ôn tập môn Toán vấn đề hệ phương trình kĩ năng giải toán phương trình


Bạn đang xem: Bài tập hệ phương trình ôn thi đại học

*
pdf

bài bác giảng Tin học ứng dụng nâng cao: Giải phương trình với hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bằng


*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc




Xem thêm: Đề Bài: Nhân Cách Nhà Nho Chân Chính Trong Bài Ca Ngắn Đi Trên Bãi Cát

Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tạp chí THTT 2010Trong các đề thi đh những năm gần đây, ta gặp rất nhiều việc về hệphương tr ình. Nhằm mục tiêu giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này công ty chúng tôi xin giới thiệu một sốdạng bài bác và năng lực giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm bình thường của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng đổi khác đồng tuyệt nhất đặcbiệt là năng lực phân tích nhằm mục đích đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản dễ dàng ( có thể rút theoy hoặc ngược lại ) rồi rứa vào PT còn lại trong hệ.*Loại lắp thêm nhất: trong hệ gồm một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn nhu cầu PT(2) cần từ (2) ta có : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được những nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trìnhbậc tốt nhất hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( từ bỏ điều kiệnta tất cả x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 nỗ lực vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( vì y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại lắp thêm ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc nhị của một ẩn,ẩn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến thay đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta tất cả D " = 9 x 2 từ đó ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm đặc trưng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay trong từng phương trình hoặc lộ diện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân tách cho một biểu thức khác 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không thỏa mãn nhu cầu PT(1) đề nghị HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ kia ta tất cả hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này các bạn đọc có thể giải dễ dàng dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều kiện : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( vị a ³ 2 ) từ đó ta gồm hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ một số loại này ta gặp gỡ nhiều ở nhị dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơnđiệu bên trên tập D và x, y nằm trong D .Nhiều khi ta yêu cầu phải review ẩn x, y để x, y thuộc tậpmà hàm f đối kháng điệu* loại thứ nhất: Một phương trình vào hệ bao gồm dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta giới hạn x, y thuộc tập D đặt lên để trên đó hàm f đối kháng điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Trường đoản cú PT (2) ta gồm x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> bao gồm f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t vì vậy hàm số f (t ) đồngbiến trên RNên PT (3) Û a = b chũm vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo thừa nhận xét bên trên thì a + a 2 + 1 > 0 cần PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( lấy ln nhị vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học 20111- ln 3 2 từ (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ đã cho tương tự với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 với = -9 (loại). Cùng với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) tất cả t 2 + t - 2 = 0 cùng với t = log y x .()()æ3öa) cùng với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) cùng với log y x = -2 , ta được x = 2 . Nuốm vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường đúng theo này PT (3) vô nghiệm. Thiệt vậy:+ nếu y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học 20111221+ ví như 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã mang đến chỉ bao gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ đã cho tương đương với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này còn có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Dưới đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ trên ta thấy x , y, z > 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương từ bỏ ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ đó suy ra hệ bao gồm một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Nuốm y từ bỏ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) có x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta gồm f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một câu hỏi trong Đề thi tuyển chọn sinh Đại học sớm nhất mà trường hợp khôngdùng đến lao lý đạo hàm thì khó rất có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t bao gồm f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 đề nghị f (t ) luôn luôn đồng trở thành trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 với x = chưa phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa có g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t yêu cầu hàm số f (t ) luôn luôn đồng biến chuyển nênx= y Û x = y 2 . Thay x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 .yVậy hệ gồm hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) với ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải các hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + trăng tròn y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền