BÀI TẬP HÌNH CHỮ NHẬT

Trong bài viết này các em sẽ được tìm hiểu về một loại tứ giác đặc biệt, đó là hình chữ nhật. Phần A cung cấp các kiến thức liên quan đến hình chữ nhật để các em hiểu thật sâu về loại tứ giác này. Phần B gồm 10 bài tập vận dụng để các em rèn luyện kỹ năng làm bài.

Bạn đang xem: Bài tập hình chữ nhật

LUYỆN TẬP HÌNH CHỮ NHẬT

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Từ định nghĩa này, ta suy ra:

– Hình chữ nhật là hình thang cân có một góc vuông.

– Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.

2. Tính chất

Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, của hình thang cân.

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác

Định lí:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

B. Bài tập

Câu 1: Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = a = 3cm; BC = b = 5cm; AC = d.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

d2 = a2 + b2

⇒ d2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34

Vậy d √34 (cm).

Câu 2: Chứng minh rằng trong hình chữ nhật:

a, Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.

b, Hai đường thẳng đi qua trung điểm, của hai cạnh đối là trục đối xứng của hình.

Lời giải:

 

a, Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Vì hình chữ nhật là một hình bình hành nên điểm O là tâm đối xứng của nó.

b, Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.

Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng d1 đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AD và BC thì đường thẳng d1 đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Câu 3: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Lời giải:

 

Giả sử tam giác ABC có ∠A = 90o, M trung điểm BC; AB = 5cm, AC = 10cm

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

BC = √(52 + 102 ) = √125 ≈ 11,2 (cm)

Mà AM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ AM = 1/2 .11,2 = 5,6 (cm)

Câu 4: Tính x trong hình dưới.

Lời giải:

 

Kẻ BH ⊥ CD,ta có: ∠A = 90o, ∠D = 90o, ∠(BHD) = 90o

Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ AB = DH, BH = AD

HC = CD – DH = CD – AB = 24 – 16 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go, ta có:

BC2 = BH2 + HC2

⇒ BH2 = BC2 - HC2

BH2 = l72 - 82 = 289 – 64 = 225

BH = √225 = 15 (cm)

Vậy x = AD = BH = 15 (cm).

Câu 5: Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bỉnh hành cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.

Lời giải:

 

Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của ∠Avà ∠B; ∠Bvà ∠C; ∠Cvà ∠D; ∠Dvà ∠A

Ta có: ∠(ADF) = 1/2 ∠(ADC) (gt)

∠(DAF) = 1/2 ∠(DAB) (gt)

∠(ADC) + ∠(DAB) = 180o (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: ∠(ADF) + ∠(DAF) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(DAB) ) = 1/2 .180o = 90o

Trong ΔAFD, ta có:

∠(AFD) = 180o – (∠(ADF) + ∠(DAF)) = 180o – 90o = 90o

∠(EFG) = ∠(AFD) (đối đỉnh)

⇒ ∠(EFG) = 90o

∠(GAB) = 1/2 ∠(DAB) (gt)

∠(GBA) = 1/2 ∠(CBA) (gt)

∠(DAB) + ∠(CBA) = 180o (hai góc trong cùng phía)

⇒ (GAB) + (GBA) = 1/2 (∠(DAB) + ∠(CBA) ) = 1/2 .180o = 90o

Trong ΔAGB ta có: ∠(AGB) = 180o – (∠(GAB) + ∠(GBA) ) = 1/2 .180o = 90o

Hay ∠G = 90o

∠(EDC) = 1/2 ∠(ADC) (gt)

∠(ECD) = 1/2 ∠(BCD) (gt)

∠(ADC) + ∠(BCD) = 180o (hai góc trong cùng phía)

⇒ ∠(EDC) + ∠(ECD) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(BCD) ) = 1/2 .180o = 90o

Trong ΔEDC ta có: ∠(DEC) = 180o – (∠(EDC) + ∠(ECD) ) = 1/2 .180o = 90o

Hay ∠E = 90o

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

Câu 6: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

 

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong ΔDAC, ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của ΔDAC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ΔABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay (FEH) = 90o

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Câu 7: Tìm các hình chữ nhật trong hình vẽ sau.

Lời giải:

 

- Hình a ta có:

* ∠B = ∠(HDC)

⇒ AB // DH (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DH //AE

* ∠C = ∠(BDE)

⇒ DE // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DE //AH

Vậy tứ giác AHDE là hình chữ nhật.

- Hình b: Tứ giác MNPQ có: OM = ON = OP = OQ

⇒ Tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trưng điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 8: Các câu sau đúng hay sai?

a, Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.

b, Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

c, Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

Lời giải:

a, Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông.

b, Sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên không song song có 2 đường chéo bằng nhau.

c, Đúng vì hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a, Tứ giác ADME là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.

b, Điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải:

 

a, Xét tứ giác ADME, ta có:

 = 900 (gt)

MD ⊥ AB (gt)

⇒ ∠(ADM) = 90o

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

∆ABC vuông cân tại A ⇒ ∠B = 45o

Suy ra: ∆DBM vuông cân tại D

⇒ DM = DB

Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:

2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm)

b, Gọi H là trung điểm của BC

Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)

AM ≥ AH (dấu " = " xảy ra khi M trùng với H)

Tứ giác ADME là hình chữ nhật .

⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DE ≥ AH

Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M là trung điểm của BC.

Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G Gọi D là điểm đối xứng với una M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

 

* Ta có: G là trọng tâm của ΔABC .

Xem thêm: Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Trong Giai Đoạn Hiện Nay !

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét ΔBCM và ΔCNB, có: BC cạnh chung

∠(BCM) = ∠(CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ ∠B1 = ∠C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

Tải về