MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình bậc nhất đối với cùng một hàm con số giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là các hằng số
*
và
*
là một hàm con số giác.

Bạn đang xem: Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi phân chia hai vế của phương trình cho
*
, đem lại phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Xác minh nào sau đấy là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với chúng ta nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số địa điểm điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

*
trên con đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó tất cả 4 điểm màn biểu diễn nghiệm của phương trình sẽ cho trên đường tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình hàng đầu đối với
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc nhất đối với
*
và
*
là phương trình tất cả dạng:

*


Cách giải:Điều kiện nhằm phương trình bao gồm nghiệm:
*
.

Chia nhị vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi đó phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm tất cả các giá trị thực của
*
để phương trình tất cả nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình gồm nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không tồn tại giá trị làm sao của

*
để phương trình tất cả nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào đk có nghiệm của phương trình

*
là
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình gồm một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết phù hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác là phương trình bao gồm dạng:

*
trong đó
*
là những hằng số
*
và
*
là một hàm con số giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ với đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Sau cuối đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn đk (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm tất cả các cực hiếm thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm bên trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không bao gồm nghiệm bên trên khoảng
*
. Vì thế phương trình vẫn cho tất cả nghiệm ở trong khoảng
*
khi và chỉ khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
và
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhì đối với
*
và
*
là phương trình có dạng:

*


Cách giải:
+ đánh giá xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, phân tách hai vế của phương trình cho
*
ta nhận được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhì đối với

*
mà ta đã hiểu cách thức giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm như sau:
+ Đối cùng với phương trình quý phái bậc ba:
*

thì giải pháp giải cũng hoàn toàn tương từ bỏ như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề như thế nào sau đấy là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân tách hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình đang cho tương tự với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương với phương trình làm sao sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, thay vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, chũm vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Vị đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

Vì

*
:

Vì

*
để phương trình sau bao gồm nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, cố vào phương trình ta được:
*
. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
*
.Xét
*
, chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) gồm nghiệm
*
thì phương trình đã cho tất cả nghiệm. Vì vậy có 2 quý hiếm nguyên của
*
thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình bao gồm nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình tất cả dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Ý Nghĩa Giờ Trùng Giờ Trùng Phút Là Gì? Chúng Đang Ngầm Cảnh Báo Nguy Cơ Gì?

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

*
ta có:

-->