Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 123 trang )




Bạn đang xem: Bài tập tích đề các

TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ Thông tin cơ bản 3.1. Quan hệ hai ngơi3.1.1. Tích Đềcác của các tập hợpa Cặp thứ tự Ta biết rằng tập hợp gồm hai phần tử a và b được kí hiệu là {a, b}. Kí hiệu{b, a} cũng chỉ tập hợp đó, tức là {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đến thứ tự của hai phần tử: a đứng trước, bđứng sau hay b đứng trước, a đứng sau. Khi đó người ta được hai dãy được sắp theo thứ tự khác nhau: Dãy a, b và dãy b, a. Đó là hai dãy khác nhau,trừ phi a = b. Mỗi dãy được gọi là một cặp thứ tự của hai phần tử. Như vậy,Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng sau gọi là một cặp thứ tự, kí hiệu là a, b; a gọi là phần tử đứng trước, b làphần tử đứng sau.Nếu a ạ b thì a, b và b, a là hai cặp thứ tự khác nhau. Hai cặp thứ tự a, b và c, d là bằng nhau khi và chỉ khi a = b và c = d.Cặp thứ tự a, b được biểu diễn bởi một mũi tên đi từ phần tử đứng trước a đến phần tử đứng sau b.Hình 1Nếu a = b thì mũi tên trở thành một vòng. Ví dụ 3.1 :Kết quả của một trận bóng đá là: 3; 1, 1; 3; 2; 0. Cặp thứ tự 3; 1 được hiểu là trên sân nhà, đội chủ nhà đã thắng đội khách: Đội chủ nhà đã ghiđược 3 bàn còn đội khách chỉ ghi được 1 bàn. Cặp thứ tự 1; 3 cho biết đội chủ nhà đã thua đội khách: Trong trận đấu, đội chủ nhà chỉ ghi được 1 bàn,trong khi đội khách ghi được 3 bàn.Ví dụ 3.2 : Diện tích của các nước trên thế giới tính trên một ngàn km2cũng được ghi bằng các cặp thứ tự, chẳng hạn:Tây Ban Nha; 500, Italia; 300, Việt Nam, 330Formatted: Heading03 Formatted: Heading04Ví dụ 3.3 : Mỗi số phức là một cặp thứ tự a, b của hai số thực. Ta biết rằng hai sốthực a và b khác nhau thì a, b và b, a là hai số phức khác nhau; Hai số phức a, b và c, d bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằngnhau và phần ảo bằng nhau, tức là a = c và b = d.b Tích Đêcác của hai tập hợp. Cho hai tập hợp X và Y. Tập hợp tất cả các cặp thứ tự x, y trong đó x∈ X, y∈ Y gọi là tích Đêcác của hai tập hợp X, Y và được kí hiệu là X x Y. Như vậy,X x Y = {x, y : x ∈ X, y ∈ Y}.Ví dụ 3.4: Cho hai tập hợp X = {x1, x2} và Y = {y1, y2, y3}. Khi đóX x Y = {x1, y1, x1, y2, x1, y3, x2, y1, x2, y2, x2, y3}Hình 2Trong Hình 2 a, mỗi phần tử của X x Y được biểu diễn bởi một mũi tên đi từ tập hợp X vào tập hợp Y. Người ta gọi đó là lược đồ hình tên. Tronghình 2 b, các phần tử của X x Y được biểu diễn bởi các điểm của một lưới xác định bởi hai tập hợp X và Y. Người ta gọi đó là lược đồ Đêcác.Trong trường hợp tập hợp X hoặc tập hợp Y có vơ số phần tử, ta chỉ có thể sử dụng lược đồ Đêcác.Ví dụ 3.5 : Tích Đêcác của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp ⏐R các số thực là tậphợp. Nx ⏐R = {x, y : x N, y ⏐R}.Trong mặt phẳng toạ độ, N x ⏐R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của các đường thẳng x = 0, x = 1, x = 2, ...Hình 3Điểm 2; nằm trên đường thẳng x = 2, các điểm 3; và 4; −2,2, theo thứtự, nằm trên các đường thẳng x = 3 và x = 4. Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X2. Như vậy, X2= {x, y : x ∈ X, y ∈ X}.Ví dụ 3.6 : Cho tập hợp X = {a, b}. Tìm tập hợp X2. Ta có:X2= {a, a, a, b, b, a, b, b}. Ví dụ 3.7 :Cho tập hợp X = <1,5; 4> = {x ∈ ⏐R = 1,5 ≤ x ≤ 4}. Tìm X2. Ta có:X2= <1,5; 4> x 1,5; 4> = {x, y : 1,5 x 4; 1,5≤ y ≤ 4}.Hình 4Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp X2được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của hình vng giới hạn bởi các đường thẳng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 và y =4 Hình 4. c Ta mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp.Cho m tập hợp X1, X2, ..., Xm. Tập hợp các dãy m phần tử x1, x2, ..., xm, trong đó x1∈ X1, x2∈ X2, ..., xn ∈ Xm gọi là tích Đêcác của m tập hợp X1, X2, ..., Xm và được kí hiệu là X1x X2x... x Xm. X1 x X2 x... x Xm = {x1, x2, ..., xm : x1∈ X1, ... xm ∈ Xm}. Nếu X1= X2= ... = Xm thì tập hợp X1x X2x... x Xm được kí hiệu là Xm. Như vậy X là tập hợp các dãy m phần tử x1, x2, ..., xm, trong đó x1, ..., xm ∈ X.Ví dụ 3.8 : Tích Đêcác R3, trong đó R là tập hợp các số thực là không gian Ơclit ba chiều, tích Đêcác Rm là khơng gian Ơclit m chiều.Ví dụ 3.9 : Tìm các ước số của 4312.Ta có: 4312 = 22x 72x 11. Mọi ước số của 4312 có dạng 2ax 7bx 11c, với a = 0, 1, 2 hoặc 3, b = 0, 1 hoặc 2, c = 0 hoặc 1.Đặt X = {2 , 21, 22, 23}, Y = {7 , 71, 72}, C = {11 , 111}.

Xem thêm: Đại Học Tốt Nhất Tphcm - Top 10 Trường Đại Học Hàng Đầu Tại Tp

Khi đó, với mọi x, y, z∈ X x Y x Z, tích xyz là một ước của 4312.3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi