Các Bài Tập Số Phức Chọn Lọc, Có Đáp Án, Các Dạng Toán Về Số Phức, Cách Giải Và Bài Tập

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học tập có giải thuật (6 dạng)

Với bài tập số phức cơ bạn dạng trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) Toán lớp 12 tất cả đầy đủ phương thức giải, ví dụ như minh họa và bài bác tập trắc nghiệm bao gồm lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập số phức từ đó đạt điểm trên cao trong bài bác thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Các bài tập số phức

Dạng 1: Cộng, trừ số phức

1. Phương thức giải

Cho hai số phức z1 = a + bi cùng z2 = c + di thì:

•Phép cùng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

•Phép trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d) i

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang lại hai số phức z1 = 1 + 10i với z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 tất cả z1 có phần thực là:

A. 8B. 10C. 12D. 14

Lời giải:

Ta có: z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.

Do đó, phần thực của số phức z là 10.

Đáp án: B

Ví dụ 2:Hãy tính số phức z. Biết rằng: z = 10i – ( 2 + 2i).i

A. z = 2 + 8i B. z = 8 - 2i

C. z = 8 + 2i D. z = 2 - 8i

Lời giải:

Ta tất cả z = 10i - (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i

Đáp án: A

Ví dụ 3: cho hai số phức z = -2 + 3yi; z’ = ( x + 1)- 4i cùng với x,y ∈ R . Kiếm tìm x; y nhằm z + i= z’ + 2

A. x = -5; y =

B. x = 5; y = 2

C. x = 2; y =

D. x =

; y = -2

Lời giải:

Để z + i = z’ + 2 ⇔ - 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2

⇔ - 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i

cho nên vì vậy ta bao gồm hệ phương trình :

⇔

Đáp án: A

Ví dụ 4: mang đến z1 = a + 8i ,z2 = 6 – 3i cùng z3 = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Kiếm tìm a, b nhằm z1 + z2 = z3

A. a = 2; b = 5 B. a = 1; b = -5

C. a = 4; b = 5 D. a = 3; b = 1

Lời giải:

Ta có: z1 + z2 = z3 nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi

⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi

⇔

⇔

Vậy a = 4; b= 5.

Đáp án: C

Ví dụ 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

A. (√2 + i) - (1 + √2i)B. ( 8 + 2i) + (- 8 + 2i)

C. ( - 3 + i) – ( 3 - i)D. (10 + 3i) – ( -10 – 3i)

Lời giải:

Ta xét các phương án:

* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) ko là số thuần ảo.

* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.

* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i ko là số thuần ảo.

* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i = 20 + 6i ko là số thuần ảo.

Đáp án: B

Dạng 2: Nhân, phân chia hai số phức

1. Cách thức giải

Phép nhân số phức: z1.z2 = ( ac – bd) + ( ad + bc). I

Phép phân tách số phức:

•Số phức nghịch hòn đảo của z = a + bi ≠ 0 là

=
=

• thực hiện phép phân tách
là nhân cả tử và chủng loại với số phức phối hợp của a + bi
=
=
+

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của P= i105 + i23 + i20 – i34

A. 1B. -2C. 2D. 5

Lời giải:

Ta có : i2 = -1 ⇒ i4 = 1.

vì đó, p = i105 + i23 + i20 – i34

= i104 + 1 + i20 + 3 + i4.5 – i4.8 + 2

= i. I4.26 + i2.i.i4.5 + 1- i2. I4.8

= i. 1 + (-1).i.1 + 1 - (-1).1 = 2

Đáp án: C

Ví dụ 2: kiếm tìm số phức z = <(1 + 5i) - (1 + 3i)>2007.

A. z= - 82007.i B. z= -82007.i

C. z= -22007D. z= -22007.i

Lời giải:

z = <(1 + 5i) - (1 + 3i)>2007 ⇔ z = <2i>2007

⇔ z = 22007i2007 ⇔ z = 2 2007 i4.501.i2.i=2 2007 (-i)

( vị i2 = -1 nên i4 =1)

Đáp án: D

Ví dụ 3: Gía trị của biểu thức A =

+
bằng

A. 1 + iB. 2C. 0D. -2

Lời giải:

Ta có:

= i

= - i ;

Suy ra:

A =

= i2016 + (-i)2018
= (i2)1008 + (i2)1009 = (-1)1008 + (-1)1009 = đối kháng = 0

Đáp án: C

Ví dụ 4: đến P= 1 + i + i2 + i3 + ... + i2017. Tính P?

A. P= i + 1B. P= 1 C. P= iD. P= 2i

Lời giải:

Ta có;

P= 1 + i + i2 + i3 + ... + i2017

iP= i + i2 + i3 + ... + i2018

⇒ p. - iP = 1 - i2018

⇒ p. =

=
=
= 1 + i

Đáp án: A

Ví dụ 5: mang lại A = 1 + i2 + i4 + .. + i4k-2 + i4k với k là số nguyên dương. Tính A?

A. A = 2kiB. A = 2kC. A = 0D. A = 1

Lời giải:

bởi vì A là tổng của một cung cấp số nhân (gồm 2k + 1 số ít hạng) với số hạng đầu u1 = 1, công bội q= i2.

Suy ra

A = 1 + i2 + i4 + .. + i4k-2 + i4k

=
= 1

Đáp án: D

Dạng 3: tìm số phức liên hợp

1. Phương thức giải

đến số phức z= a + bi,( a,b ∈ R). Lúc đó, số phức liên phù hợp với số phức z là: z− = a - bi

2. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1: tìm số phức phối hợp của số phức z = ( 3- 2i). (2 + 3i)

A. z− = -5iB. z− = 12 -5i

C. z− = 12 + 5iD. z− = 3 + 2i

Lời giải:

Ta có: z = (3 - 2i).(2 + 3i) = 6 + 9i – 4i + 6

⇔ z = 12 + 5iDo đó, số phức liên hợp với số phức z là z− = 12 -5i

Đáp án: B

Ví dụ 2: đến số phức z = 5 – 3i. Tính 1 + z− + (z− )2 ta được kết quả:

A. – 22 + 33i.B. 22 + 33i.

C. 22 - 33i.D. -22 - 33i.

Lời giải:

Ta có z = 5 - 3i ⇒ z− = 5 + 3i

Suy ra : 1 + z− + (z− )2 = 1 + (5 + 3i) + (5 + 3i)2 = (6 + 3i) + (25 + 30i - 9) = 22 + 33i

Đáp án: B

Ví dụ 3: đến số phức z = 4 - 3i. Tra cứu số phức liên hợp của số phức ω = 2z− + z2.

A. ω− = 15 - 18iB. ω− = 16 + 18i

C. ω− = 15 + 16iD. ω− = 15 + 18i

Lời giải:

Ta gồm z = 4 - 3i nên số phức liên hợp với số phức z là : z− = 4 + 3i

Theo đầu bài bác : ω = 2z− + z2 = 2. (4 + 3i) + ( 4-3i)2

⇔ ω = 8 + 6i + ( 16 – 24i + 9i2) = 15 – 18i

Vậy ω = 15 – 18i

Vậy số phức phối hợp của ω là ω− = 15 + 18i

Đáp án: D

Ví dụ 4: mang lại số phức z thỏa (1 + 3i) z - (2 + 5i) = (2 + i) z. Tìm kiếm số phức liên hợp của số phức z.

A. z− = + B. z− = - +

C. z− = - D. z− = - -

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

(1 + 3i)z-(2 + 5i) = (2 + i)z

⇔(1 + 3i-2-i)z = 2 + 5i⇔(-1 + 2i)z = 2 + 5i

⇔z =

= +

Đáp án: A

Ví dụ 5: tra cứu số phức z, biết z + 2iz− + 4 = i

A. z = 2- 3iB. z = - 3 + 2i

C. z = - 2 + 3iD. z = 3 - 2i

Lời giải:

gọi số phức z bắt buộc tìm là z = a + bi ( a,b ∈ R)

Số phức liên phù hợp với số phức z là : z− = a - bi

Theo mang thiết: z + 2iz− + 4 = i

⇒ a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i

⇔ a + bi + 2ai + 2b + 4-i = 0

⇔(a + 2b + 4) + (b + 2a-1)i = 0

⇔

⇔
Suy ra z = 2- 3i

Đáp án: A

Dạng 4: Môđun của số phức

1. Cách thức giải

* mang đến số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R). Lúc đó mô đun của số phức z kí hiệu là : | z| và : | z| =

* nhấn xét : |z| ≥ 0 và |z| = 0 ⇔ z = 0 .

2. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính môđun của số phức z = 6 – 8i

A. 10B. 2C. -2D. 80

Lời giải:

Môđun của số phức z = 6 – 8i là: | z| =

= 10

Đáp án: A

Ví dụ 2: search số phức z, biết | z| = √5 , phần thực bằng 2 lần phần ảo với phần thực dương

A. z = 2 + iB. z = 1 + 2i

C. z =

D. z =

Lời giải:

đến số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R) với a > 0

Do phần thực bằng gấp đôi phần ảo cần : a = 2b (1).

mà | z| = √5 ⇔ = √5 ⇔ a2 + b2 = 5 (2)

Từ (1) và (2) ta gồm hệ phương trình :

⇔

Vậy số phức đề nghị tìm là z = 2 + i.

Đáp án: A

Ví dụ 3: mang đến số phức z tất cả phần thực là số nguyên cùng z thỏa mãn: | z| - 2z− = -7 + 3i + z . Tính môđun của số phức: ω = 1 - z + z2

A. |ω| = √37B. |ω| = √457

C. |ω| = √425D. |ω| = 457

Lời giải:

gọi số phức đề nghị tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)

Số phức phối hợp của số phức z là : z− = a - bi và | z| =

Theo trả thiết ta có: | z| - 2z− = -7 + 3i + z

⇔ - 2(a - bi) = -7 + 3i + a + bi

⇔

⇔
⇔
vậy z = 4 + 3i ⇒ ω = 1-(4 + 3i) + (4 + 3i)2 = 4 + 21i
⇒ |ω| =
= √457

Đáp án: B

Ví dụ 4: mang đến hai số phức z1 và z2 thỏa cho hai số phức z1 cùng z2 thỏa |z1 | = |z2 | = 1;|z1 + z2 |=√3.Tính |z1 - z2 |

A. √3-1B. 0C. 1D. -1

Lời giải:

Ta bao gồm :

3 =|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )( z− 1 + z− 2 )

⇒z1 z− 2 + z2 z− 1 + z1 z− 1 + z2 z− 2 = 3

⇒z1 z− 2 + z2 z− 1 = 1

Vì |z1| = |z2| = 1 phải z1. Z1− = 1 ; z2. Z2− = 1

Khi đó:

|z1 - z2|2 = (z1 - z2)(z1− - z2− ) = |z1|2 + |z2|2 - (z1 z2− + z2 z1− ) = 1

Đáp án: C

Ví dụ 5: cho số phức z thỏa mãn nhu cầu | z + 3| = 5 và | z- 2i|= |z – 2 - 2i|. Tính |z|.

A. |z| = 5B. |z| = √5

C. |z| = 2D. |z| = √10

Lời giải:

gọi số phức z yêu cầu tìm là z = a + bi ( a,b ∈ R)

Ta có:

|z + 3| = 5⇔|a + bi + 3| = 5 ⇔(a + 3)2 + b2 = 25 (*)

|z-2i| = |z-2-2i| ⇔|a + bi-2i| = |a + bi-2-2i|

⇔a2 + (b-2)2 = (a - 2)2 + (b - 2)2

⇔a2 = (a-2)2

⇔

Thế a = 1 vào (*) ta được 16 + b2 = 25 ⇒ b2 = 9
Do đó, môdun của z là: |z| =
= √10

Đáp án: D

Dạng 5: tìm kiếm số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện T

1. Phương thức giải

Để kiếm được số phức vừa lòng điều khiếu nại T, ta đề xuất linh hoạt những phép toán của số phức, tính môdun số phức, số phức liên hợp...

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang đến số phức z = 2m + ( m + 2)i, (m∈ R) . Tìm kiếm z biết rằng z2 là một trong những phức tất cả phần thực bởi - 5.

A. không tồn tại số phức bắt buộc tìm

B. z = 2 + 3i , z = +

C. z = 4 + 2√3 + (4 + √3)i; z = 4 - 2√3 + (4 - √3)i

D. z = 2i, z = -18 – 7i

Lời giải:

Ta bao gồm :

z2 = 4m2 + 2m(m + 2)i + <(m + 2)i>2 = 3m2 + 2m(m + 2)i-4m-4

do z2 là số phức tất cả phần thực bởi -5 yêu cầu ta có:

⇒ 3m2 - 4m - 4 = -5 ⇔ 3m2 - 4m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ; m = 1/3

Vậy có hai số phức thỏa mãn nhu cầu là z1 = 2 + 3i cùng z2 = +

Đáp án: B

Ví dụ 2: cho số phức z = m + (m-1)i; (m∈ R) với số phức z" = 2n + (2-3n)i (n∈R) .Tìm m và n biết rằng z - z’= 1 + 7i

A. m =

; n = B. m =

; n =

C. m = -9, n = -5D. m = -13, n = - 7

Lời giải:

Ta có: z - z’ = < m + ( m - 1).i> – <2n + (2- 3n).i> = (m- 2n) + ( m + 3n – 3). I

Theo đưa thiết z- z’ = 1 + 7i đề nghị ta có:

( m- 2n) + (m + 3n – 3).i = 1 + 7i .

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

⇔
⇔

Đáp án: B

Ví dụ 3: kiếm tìm số phức z = x + yi, ( x, y ∈ R) vừa lòng z + 3x = 2z− - 3i . Tìm kiếm |z|

A. |z| = 1B. |z| = 2

C. |z| = √2D. |z| = √3

Lời giải:

vì z + 3x = 2z− - 3i ⇔ x + yi + 3x = 2(x - yi) - 3i ⇔ 4x + yi = 2x - (2y + 3)i

⇔

⇔

vày đó, số phức vừa lòng đầu bài bác là z = - i với |z| = 1

Đáp án: A

Ví dụ 4: bao gồm bao nhiêu số phức z có phần ảo gấp tía lần phần thực, mặt khác |z− | =

A. 0B. 1C. 2D. 3

Lời giải:

Gọi số phức nên tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)

vì số phức z bao gồm phần ảo gấp cha lần phần thực cần b = 3a

⇒ Số phức yêu cầu tìm gồm dạng: z = a + 3ai

Số phức liên hợp của số phức z là: z− = a - 3ai

Theo giả thiết ta có: |z−| =

⇔
=
⇔
=
⇔ 10a2 = 20a ⇔

Với a = 0 thì z = 0.
Với a = 2 thì z = 2 + 6i
Vậy bao gồm hai số phức vừa lòng là z = 0 hoặc z = 2 + 6i

Đáp án: C

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy mang lại điểm A là vấn đề biểu diễn của số phức z= 1 + 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y=2 làm thế nào cho tam giác OAB cân nặng tại O. Tra cứu số z biểu diễn B.

A. z = 1 + 2i.B. z = -1 + 2i.

C. z = 3 + 2i, z = -3 + 2i.D. z = - 1 + 2i, z = 1 + 2i.

Xem thêm: Tác Dụng Của Điệp Từ Nghe Trong Tiếng Gà Trưa, Điệp Ngữ Của Bài Tiếng Gà Trưa Có Tác Dụng J

Lời giải:

Ta có, điểm A màn trình diễn số phức z = 1 + 2i buộc phải tọa độ A( 1; 2) .

Do điểm B nằm trên phố thẳng y = 2 đề xuất tọa độ B(x, 2); ( x ≠ 1 )

Để tam giác OAB cân tại O khi còn chỉ khi OA = OB.

⇔