Bạn muốn giải được các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học THCS và THPT thì các bạn cần nắm vững được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Để tìm hiểu thêm về các hằng đẳng thức này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các hằng đẳng thức đang nhớ


Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

*


1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta có x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng hai lập phương

 Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta có : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên thì chúng ta còn có hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ quả tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.

Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Lời giải.

Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Xem thêm: Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 2 Lớp 8 Đề 4, Bài Viết Số 2 Lớp 8 Hay Nhất

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng với những kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng bài tập thường gặp mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn áp dụng vào bài tập nhé