1. Định nghĩa đường trung tuyến đường là gì? 

Đường trung con đường của một đoạn thẳng là một con đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Bạn đang xem: Cách vẽ đường trung tuyến

2. Định nghĩa con đường trung tuyến đường của tam giác


Trong hình học thì mặt đường trung con đường của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối trường đoản cú đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Từng tam giác sẽ sở hữu 3 con đường trung tuyến.

Ví dụ:

*
Đường trung con đường là gì, đặc thù và lấy ví dụ như minh họa" width="413">

Định nghĩa đường trung đường của tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn trực tiếp AI, CN, BM đã là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

3. đặc điểm và định lý con đường trung tuyến đường trong tam giác

- Đồng quy ở 1 điểm

Ba mặt đường trung con đường của tam giác đồng quy tại một điểm, được gọi là trọng trung khu của tam giác.

*
Đường trung con đường là gì, tính chất và lấy một ví dụ minh họa (ảnh 2)" width="615">Trọng trọng tâm của tam giác

Khoảng giải pháp từ trọng tâm của tam giác mang lại đỉnh bằng 2/3 độ dài con đường trung đường ứng với đỉnh đó.

*
Đường trung tuyến là gì, đặc điểm và lấy ví dụ minh họa (ảnh 3)" width="610">Khoảng bí quyết từ giữa trung tâm của tam giác đến đỉnh

- phân thành các tam giác nhỏ dại có diện tích bằng nhau

Mỗi con đường trung tuyến đường chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Bố trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ tuổi với diện tích bằng nhau.

*
Đường trung tuyến là gì, đặc thù và lấy ví dụ minh họa (ảnh 4)" width="487">3 mặt đường trung tuyến phân tách tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau

4. Một vài định lý đường trung con đường trong tam giác

Thực hành: giảm một tam giác bằng giấy. Vội vàng lại để xác minh trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn trực tiếp nối trung đặc điểm này với đỉnh đối diện. Bằng phương pháp tương tự, hãy vẽ tiếp hai tuyến phố trung tuyến đường còn lại.

Quan tiếp giáp tam giác vừa cắt (trên này đã vẽ cha đường trung tuyến). đến biết: ba đường trung tuyến của tam giác này còn có cùng đi qua 1 điểm hay không?

Định lý 1: bố đường trung con đường của một tam giác cùng đi qua một điểm. điểm chạm mặt nhau của 3 con đường trung tuyến điện thoại tư vấn là trọng tâm (centroid) của tam giác đó.

Định lý 2: Đường trung tuyến đường của tam giác phân tách tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Bố trung tuyến phân tách tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

*
Đường trung tuyến là gì, đặc điểm và lấy một ví dụ minh họa (ảnh 5)" width="346">

Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF theo thứ tự là những đường trung tuyến khởi đầu từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ngơi nghỉ G.

Ta bao gồm G là trung tâm của tam giác ΔABC.

Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, vị đó:

SΔAGE = SΔCGE; SΔBGD = SΔCGD; SΔAGF = SΔBGF trong kia kí hiệu SΔABC là diện tích s của tam giác ABC.

Điều này đúng bởi trong những trường phù hợp hai tam giác có chiều dài đáy bởi nhau, và tất cả cùng con đường cao tự đáy, mà diện tích của một tam giác thì bởi ½ chiều nhiều năm đáy nhân với con đường cao, lúc ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau.

Chúng ta có: 

SΔACG = SΔACD − SΔCGD; SΔABG = SΔABD − SΔBGD

Do kia ta gồm :SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG; SΔCDG = ½SΔACG

Do SΔBGF = SΔAGF, SΔAGF = ½SΔACG = SΔBGF = ½SΔBCG

Do vậy, SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD

Sử dụng cùng phương thức này. Ta có thể minh chứng điều sau:

SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD=SΔCGE=SΔAGE

Định lý 3: Về địa điểm trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác giải pháp mỗi đỉnh một khoảng chừng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đường qua đỉnh ấy.

Ví dụ như sau:

*
Đường trung đường là gì, đặc điểm và lấy ví dụ minh họa (ảnh 6)" width="371">

Tam giác ΔABC có AD, BE, CF theo lần lượt là những đường trung tuyến khởi nguồn từ ba đỉnh A, B, C. Theo định lý 1 thì ba đường này đồng quy tại một điểm gọi là vấn đề G. 

Theo định lý 2 thì:

AG=⅔ AD;BG=⅔ BE;CG=⅔ CF

5. Định nghĩa đường trung con đường trong tam giác sệt biệt

Tìm hiểu mặt đường trung đường trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trường hợp đặc trưng của tam giác, vào đó, tam giác sẽ có được một góc tất cả độ to là 90 độ, với hai cạnh làm cho góc này vuông góc cùng với nhau.

Chính vì vậy mà đường trung tuyến đường của tam giác vuông sẽ có khá đầy đủ những đặc điểm của một đường trung con đường tam giác.

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Một tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh bởi nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ 1:

*
Đường trung tuyến là gì, đặc thù và lấy một ví dụ minh họa (ảnh 7)" width="198">

Đường trung tuyến đường trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông sinh sống B, độ dài mặt đường trung tuyến BM sẽ bởi MA, MC với bằng ½ AC

Ngược lại nếu như BM = ½ AC thì tam giác ABC sẽ vuông ở B.

Ví dụ 2: 

*
Đường trung đường là gì, đặc điểm và lấy một ví dụ minh họa (ảnh 8)" width="409">

Tam giác ΔABC vuông ngơi nghỉ A, độ dài đường trung đường AM sẽ bằng MB, MC cùng bằng ½ BC.

Ngược lại trường hợp AM = ½ BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông sinh hoạt A.

Chứng minh:

Cho tam giác ΔABC. Call M là trung điểm của BC. Minh chứng rằng:

1. Nếu = 900 thì MA = 1/2 BC

2. Ví như MA = ½ BC thì góc ∠A = 900.

*
Đường trung tuyến đường là gì, đặc điểm và ví dụ như minh họa (ảnh 9)" width="322">

Xét tam giác ΔABC có M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA rước điểm N sao cho MN = MA.

Ta có:

∠AMB = ∠NMC (đối đỉnh)

BM = centimet (giả thiết)

MA = MN (dựng hình)

Suy ra: tam giác tam giác ΔMAB = tam giác tam giác ΔMNC (c.g.c)

Suy ra: NC = AB và ∠MBA = ∠MCN

a) vì chưng ∠MBA = ∠MCN nên AB // NC suy ra ∠BAC + ∠ACN = 1800.

Nếu góc ∠BAC = 900 thì góc ACNˆ = 900.

Khi đó ta có: tam giác ΔABC = tam giác ΔCNA (c.g.c) vì gồm AC chung; AB = NC (cmt) với ∠BAC = ∠ACN = 900.

Ta có: AN = BC => AM = ½ BC

b) Ta có: MA = ½ AN. Nếu như MA = ½ BC thì AN = BC.

Lại bao gồm AB = cn (cmt)

Suy ra tam giác ΔABC = tam giác ΔCNA (c.c.c), suy ra: góc ∠BAC = góc ∠ACN

Mà ∠BAC + ∠ACN = 1800 (vì AB // CA) nên ∠BAC = 900 (dpcm)

6. Tò mò đường trung tuyến đường trong tam giác cân, tam giác đều

Tính chất: Đường trung tuyến đường trong tam giác cân (và tam giác đều) ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc với mẫu đấy và phân chia tam giác các thành nhì tam giác bằng nhau.

*
Đường trung tuyến đường là gì, đặc điểm và ví dụ như minh họa (ảnh 10)" width="303">

Tam giác đều ΔABC có AM, BN, CP thứu tự là bố đường trung đường của tam giác. Theo đặc thù của mặt đường trung tuyến trong tam giác đa số ta có:

AM⊥BC; BN⊥AC; CP⊥AB và ΔABM = ΔACM; ΔABN = ΔCBN; ΔACP = ΔBCP.

7. Công thức liên quan tới độ nhiều năm của trung tuyến

 Ta có thể tính được độ dài con đường trung con đường của một tam giác thông qua độ dài những cạnh của tam giác ấy. Độ lâu năm của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau:

*
Đường trung tuyến đường là gì, đặc điểm và ví dụ như minh họa (ảnh 11)" width="261">

Trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung đường tương ứng ma, mb, mc từ trung điểm.

Vậy là ta đã mày mò khá vừa đủ về định nghĩa và đặc điểm của con đường trung tuyến, tương tự như áp dụng nó trong một trong những trường hợp đặc biệt. Sau đây chúng ta hãy rèn luyện thông qua một số trong những bài tập đơn giản và dễ dàng nhé.

8. Bài bác tập về con đường trung tuyến

Bài tập trắc nghiệm con đường trung tuyến

Câu 1: Cho tam giác ABC cân. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:

A. 22cm

B. 2cm

C. 6cm

D. 8cm

Đáp án: D

Câu 2: Tam giác ABC gồm trung đường AM = 9cm và trung tâm G. Độ dài đoạn AG là:

A. 4,5cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 4cm

Đáp án: C.

Câu 3: mang đến tam giác ABC có nhị đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = công nhân thì ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Đáp án: A.

Bài tập từ bỏ luận 

Câu 1: Cho hai đường thẳng x’x cùng y’y chạm mặt nhau sinh hoạt O. Bên trên tia Ox đem hai điểm A cùng B làm sao để cho A nằm giữa O cùng B, AB=2OA. Bên trên y’y đem hai điểm L cùng M sao cho O là trung điểm của đoạn trực tiếp LM. Nối B cùng với L, B với M và gọi p là trung điểm của đoạn trực tiếp MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn trực tiếp LP và MQ đi qua A.

Xem thêm: Tính Chất Hóa Học Đặc Trưng Của Kim Loại Là? Tính Chất Hóa Học Đặc Trưng Của Kim Loại Là

*
Đường trung tuyến đường là gì, tính chất và ví dụ như minh họa (ảnh 12)" width="384">

Cách giải:

Ta tất cả O là trung điểm của đoạn LM (gt)

 Suy ra BO là đường trung đường của ΔBLM (1)

Mặt khác BO = ba + AO bởi A nằm trong lòng O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vày AB = 2AO (gt)

Suy ra AO= ⅓BO hay BA= ⅔BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( đặc thù của trọng tâm)

 mà LP và MQ là những đường trung con đường của ΔBLM vì p là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)

 suy ra các đoạn thẳng LP với MQ đều đi qua A ( tính chất của bố đường trung tuyến) 

Câu 2: Cho ΔABC có BM, công nhân là hai tuyến đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dãn BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dãn dài CN đem đoạn NF=NG. Bệnh minh:

a) EF=BC

b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Cách giải:

*
Đường trung tuyến là gì, đặc thù và lấy ví dụ như minh họa (ảnh 13)" width="339">

a) Ta gồm BM và công nhân là hai tuyến đường trung tuyến gặp gỡ nhau tại G nên G là trung tâm của tam giác ΔABC. 

⇒ GC = 2GN

mà FG = 2GN ⇒ GC=GF

Tương trường đoản cú BG, GE và ∠G1 = ∠G2 (đd). Bởi vì đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))

Suy ra BC = EF

b.) G là trọng tâm nên AG đó là đường trung tuyến đường thứ ba trong tam giác ABC đề nghị AG trải qua trung điểm của BC.