Bảng gồm các công thức nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm nâng cao, nguyên hàm mở rộng dành cho học sinh lớp 12 áp dụng làm các bài tập về nguyên hàm.
Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm mở rộng
Nhắc lại định nghĩa về nguyên hàm như sau:
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Ví dụ: Hàm số f(x) = cos X có nguyên hàm là F (X) = sin X vi (sin X)’ = cos X (tức F ‘(X) = f (X)).
Dưới đây là bảng nguyên hàm bao gồm: Nguyên hàm vô tỷ, nguyên hàm hữu tỉ, nguyên hàm e, nguyên hàm logarit, nguyên hàm lượng giác
Tóm tắt
Bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp
1. $\displaystyle \int d x=x+C$
2. $\displaystyle \int k d x=k x+C$
3. $\displaystyle \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n \neq-1)$
4. $\displaystyle \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)$
5. $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x}+C$
6. $\displaystyle \int \frac{1}{x^{n}} d x=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C$
7. $\displaystyle \int e^{x} d x=e^{x}+C$
8. $\displaystyle \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0Bảng các nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)
14. $\displaystyle \int(a x+b)^{\alpha} d x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$
15. $\displaystyle \int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C$
16. $\displaystyle \int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C$
17. $\displaystyle \int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C$
18. $\displaystyle \int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C$
19. $\displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C$
20. $\displaystyle \int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C$
21. $\displaystyle \int \mathbf{f}(\mathbf{a x}+\mathbf{b}) \mathbf{d x}=\frac{1}{\mathbf{a}} \mathbf{F}(\mathbf{a x}+\mathbf{b})+\mathbf{C}$
$\displaystyle \int{{\tan }}x\cdot dx=-\ln |\cos x|+C$
$\displaystyle \int{{\cot }}x\cdot dx=\ln |\sin x|+C$
$\displaystyle \int{{\tan }}(ax+b)\text{dx}=-\frac{1}{a}\ln |\cos (ax+b)|+C$
$\displaystyle \int{{\cot }}(ax+b)\text{dx}=\frac{1}{a}\ln |\sin (ax+b)|+C$
Bảng các nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)
22. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c$
23. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c$
24. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln (x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+c$
25. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c$
26. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c$
27. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x}\right|+c$
28. $\displaystyle \int \ln (a x+b) \mathrm{d} \mathrm{x}=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c$
29. $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c$
30. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}\right|+c$
31.
Xem thêm: Bài Dự Thi Tìm Hiểu Bộ Luật Hình Sự Năm 2015, Please Wait
$\displaystyle \int e^{a x} \cos b x \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+c$
32. $\displaystyle \int e^{a x} \sin b x \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+c$