Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

2. Định lý giới hạn kẹp: (pinching theorem or sandwich theorem or squeeze theorem)

Cho I là một khoảng lân cận của a. Và f, g, h là các hàm số xác định trên I (có thể không xác định tại a)

Giả sử rằng:

*
vì giời hạn
*
không tồn tại.

Bạn đang xem: Định lý kẹp

Tuy nhiên, ta có:

*

Từ đó:

*

Do:

*

Do đó, theo định lý giới hạn kẹp ta có:

*

3. Số e:

Ta chứng minh:

*

Ta đã có:

*
khi
*

– Xét

*
:

Với x > 0 và khá lớn, ta luôn tìm được

*
sao cho:
*

Khi đó, ta có:

*

Hay:

*

Suy ra:

*

Mặt khác:

*

Từ (1) và (2) ta có:

*

Khi

*
thì
*
và:

*

*

Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có:

*

Xét

*

Ta đặt:

*

Khi

*
thì
*
. Khi đó:

*

*
^{\dfrac{t+1}{t}} = e^1 = e (4) " class="latex" />

Vậy, từ (3) và (4) ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả: Đặt

*
ta có:
*

III. Khử dạng vô định:

3.1.

*
có dạng vô định
*
: biến đổi để tử và mẫu số xuất hiện nhân tử chung
*

Ví dụ 3.1:

*

Ta có:

*

Nhận xét: ta có thể khử x – 4 ở tử và mẫu trước khi lấy giới hạn vì

*
khi
*

Ví dụ 3.2:

*

Do ở mẫu có chứa căn bậc hai, nên ta nhân lượng liên hợp để khử căn bậc 2 trước. Ta có:

*

3.2. Dạng vô định

*

Chia phân thức cho số hạng có bậc cao nhất của tử số và mẫu số.

Ví dụ 3.3:

*

3.3. Dạng vô định

*

Nhân thêm lượng liên hợp để đưa về dạng

*

Ví dụ 3.4:

*

Ta có:

*

3.4. Công thức L’Hospital – Bernulli:

3.5. Giới hạn dạng:

*
^{g(x)} " class="latex" />

3.5.1. Nếu

*
} 0) ; \lim\limits_{x \to x_0}g(x) = b " class="latex" /> (a, b hữu hạn) thì
*
^{g(x)} = a^b " class="latex" />

3.5.2. Nếu

*
thì kết quả được suy ra ngay một cách trực tiếp. (Bạn đọc thử suy nghĩ)

3.5.3.

Xem thêm: Tổng Hợp Những Câu Đố Vui Có Đáp Án Hay Nhất Năm 2022, Tổng Hợp Những Câu Đố Vui Có Đáp Án

Nếu

*
^{g(x)} " class="latex" /> có dạng
*
. Khi đó:

Đặt

*

Khi đó:

*

Suy ra:

*

Do vậy:

*
^{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \left\{ \left< 1 +(f(x) -1) \right>^{\dfrac{1}{f(x)-1}} \right\}^{(f(x)-1).g(x)} = e^{\lim\limits_{x \to x_0}(f(x)-1)g(x)} " class="latex" />