Giải các phương trình sau lớp 11

- Chọn bài -Bài 1: Hàm số lượng giácBài 2: Phương trình lượng giác cơ bảnBài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặpÔn tập chương 1

Xem tổng thể tài liệu Lớp 11: trên đây

Sách giải toán 11 bài xích 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp giúp đỡ bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học xuất sắc toán 11 sẽ giúp đỡ bạn rèn luyện năng lực suy luận phù hợp và phù hợp logic, hình thành tài năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số bài bác 3 trang 29: Giải những phương trình trong lấy một ví dụ 1.

Bạn đang xem: Giải các phương trình sau lớp 11

a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình hàng đầu đối với sinx.

b) √3 tanx + 1 = 0 là phương trình số 1 đố cùng với tanx.

Lời giải:

a)2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vị |sin⁡x| ≤ 1

b)√3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0;

b) 3tan2x – 2√3 tanx + 3 = 0.

Xem thêm: Chương 7: Đường Lối Xây Dựng Và Phát Triển Nền Văn Hóa Trước Đổi Mới( 1986 )

Lời giải:

a)3cos2x – 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc nhị theo t:

3t2 – 5t + 2 = 0(1)

Δ = (-5)2 – 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan2 x – 2√3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc nhì theo t:

3t2 – 2√3 t + 3 = 0(1)

Δ = (-2√3)2 – 4.3.3 = -24 2α + cos2α = 1

1 + tan2α = 1/(cos2α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = 1/(sin2α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z

b) công thức cộng:

cos⁡(a – b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b – sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a – b) = sin⁡a cos⁡b – cos⁡a sin⁡b

c) phương pháp nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos2α – sin2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α

d) Công thức chuyển đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2

sin⁡a sin⁡b = 50%

sin⁡a cos⁡b = 1/2

Công thức chuyển đổi tổng thành tích:

Lời giải:

3cos2 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x – 4 = 0

⇔3(1-sin26x)+ 4sin⁡6x – 4 = 0

⇔-3sin26x + 4sin⁡6x – 1 = 0

Đặt sin⁡6x = t với đk -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t2 + 4t – 1 = 0(1)

Δ = 42 – 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1)có nhị nghiệm là:

Ta có:

sin⁡6x = (-1)/3 ⇔ 6x = arcsin (-1)/3 + k2π cùng 6x = π – arcsin (-1)/3 + k2π

⇔ x = 1/6 arcsin (-1)/3 + k π/3,và x = π/6 – 1/6 arcsin (-1)/3 + kπ/3, k ∈ Z

sin⁡6x = -1 ⇔ sin⁡6x = sin⁡(-π)/2

⇔ 6x = (-π)/2 + k2π, k ∈ Z

⇔ x = (-π)/12 + kπ/3, k ∈ Z

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và tác dụng cos π/4 = sinπ/4 = √2/2, hãy chứng tỏ rằng:

a) sinx + cosx = √2 cos(x – π/4);

b) sin x – cosx = √2 sin(x – π/4).

Lời giải:

a)sin⁡x + cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x + √2/2 cos⁡x )

= √2.(sin⁡ π/4 sin⁡x + cos⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.cos⁡(x – π/4)

b)sin⁡x – cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x – √2/2 cos⁡x )

= √2.(cos⁡ π/4 sin⁡x + sin⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.sin⁡(x – π/4)

Lời giải:

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm

(k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) biến hóa 2t2 – 3t + 1 = 0

(thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z)

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

(Phương trình bậc hai với ẩn ).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k.π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc nhì với ẩn sin x)

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm {

+ k2π; + k2π; arcsin + k2π; π – arcsin + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện:

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tung x).

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm

+ kπ; arctan + kπ (k ∈ Z)

d. Điều kiện

tanx – 2.cotx + 1 = 0

(Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm

+ kπ; arctan(-2) + kπ (k ∈ Z)

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. Sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, phân chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 0.

Phương trình (1) biến đổi 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Phân tách hai vế phương trình mang lại cos2x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) biến chuyển 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả nhì vế cho cos2x ta được:

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm (k ∈ Z)

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm (k ∈ Z)

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình gồm tập nghiệm

(k ∈ Z)

Ta có:

đề xuất tồn tại α vừa lòng

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình bao gồm họ nghiệm

(k ∈ Z)

với α thỏa mãn nhu cầu

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm

(k ∈ Z)

Vì

nên tồn tại α thỏa mãn

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. Sin 2x = 1

Vậy phương trình gồm họ nghiệm

(k ∈ Z)

với α thỏa mãn nhu cầu

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. Tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1