Tổng quát mắng hơn, ta xét

*
là hàm suy rộng trên
*
và đạo hàm suy rộng của chính nó là hàm suy rộng lớn
*
thì
*
là hàm suy rộng lớn hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng là gì

Một cách tương tự như cho hàm với hàm suy rộng xác minh trên miền (mở+liên thông) trong không khí

*
chúng ta thử rõ ràng việc tựa như này xem sao?

Quay trở về trường vừa lòng 1-chiều, hàm lồi trên toàn con đường thẳng với bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại có mang hàm lồi:

*
được call là hàm lồi nếu

với rất nhiều cặp điểm

*
ta số đông có

*

Nếu hàm khả vi đến cung cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho

*
khả vi đến cấp cho 2 với đạo hàm cấp cho 2 của nó

*

Khi đó nếu

*
bị chặn trên, nghĩa là bao gồm số
*
để

*

thì

*
là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không tồn tại đạo hàm đến cấp cho 2, ví dụ điển hình

*
hay những hàm gồm đồ thị con đường tính từng khúc. Tuy vậy L. Schwartz minh chứng được rằng

*
là hàm lồi khi còn chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng trung học phổ thông
*
là độ đo Radon, tức là hàm suy rộng lớn dương

*

hay

*

Ta có thể thấy vấn đề đó qua lấy ví dụ như

*
bao gồm
*
, giỏi
*
tất cả đồ thị tuyến tính từng khúc có

*

với

*
là hoành độ điểm gãy,
*
là độ lệch giữa thông số góc của đoạn buộc phải và đoạn trái được nối cùng với nhau tại điểm
*
.

Một bí quyết tương tự các bạn thử vạc biểu đến hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

*

Khi kia nếu

*
bị ngăn hoặc trên, hoặc bên dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo xẻ đề Weyl, đạo hàm cấp hai

*
sinh sống trên hoàn toàn có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, tức thị ta chỉ cần giả sử
*

*

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của nội dung bài viết quan tâm đến: với những điều khiếu nại gì để lên các đạo hàm riêng cung cấp 1, cung cấp 2 của hàm xác minh trên toàn

*
thì hàm là hàm hằng? Trả lời thắc mắc này ta thu được những Định lý mẫu mã Liouville.

Ta bước đầu với các điều kiện ném lên đạo hàm riêng cấp cho 1 cùng

*
chăm chú ta hoàn toàn có thể coi
*
theo cách
*
Ta xem xét các hàm
*
. Ta có những đạo hàm riêng

*
,

*
,

với

*

Đến đây ta gặp khái niệm tựa bao gồm quy (quasiregular) sau:

Hàm

*
được call là tựa bao gồm quy nếu

*

với hằng số

*

Khi đó ta có tác dụng sau:

Nếu hàm tựa chủ yếu quy

*
thỏa mãn:

*
0," class="latex" />

thì

*
là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để gửi sang trường đúng theo

*
ta phải quan sát đk tựa chủ yếu quy. Để ý:

-) Jacobien

*
,

-) chuẩn của đạo ánh

*

-) và

*

nên

*
là tựa bao gồm quy khi còn chỉ khi

*

hay

*

hoặc

*

với hằng số

*
.

Giờ ta rất có thể định nghĩa hàm tựa thiết yếu quy vào

*
như sau:

Hàm

*
thỏa mãn

*

với hằng số

*

được gọi là hàm tựa bao gồm quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) chuẩn chỉnh của ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

*

Khi đó ta cũng có

*

với hằng số

*

Đặt

*
theo lần lượt là số nhỏ tuổi nhất trong số
*
thỏa mãn (1), (2).

Trong trường vừa lòng

*
ta bao gồm
*

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chủ yếu quy trong

*
như sau:

Cho

*
là hàm tựa bao gồm quy thỏa mãn

*

với

*
lúc ấy
*
là hàm hằng.

Đặc biệt, giả dụ hàm tựa chủ yếu quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp

*
, hàm tựa bao gồm quy với hằng số
*
xuất xắc
*
, theo té đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng nhân tố của nó các là hàm điều hòa. Ta gặp mặt lại Định lý Liouville mang lại hàm chỉnh hình trên
*
tương tự như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm ổn định là nghiệm của phương trình Laplace, ngôi trường hợp đặc biệt quan trọng của phương trình elliptic. Phần tiếp ta lưu ý đến nghiệm

*
của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

*

trong kia

*
là các hàm đo được thỏa mãn

*

*

trong đó

*
là những hằng số dương.

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Ta quan ngay cạnh lại bài viết:

– bắt đầu xét hàm

*
,

– mở rộng

*
,

– rồi

*
với
*
,

– quay trở về

*

Tiếp mang lại ta xem xét nghiệm theo nghĩa suy rộng

*
của hệ phương trình elliptic

*

với

*

và thông số

*
thỏa mãn

*

Khi đó, trường hợp

*
bao gồm độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

*

thì

*
là nhiều thức bậc
*
tức thị từng thành phần của nó là đa thức bậc
*

Đặc biệt giả dụ

*
thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

*
được hotline là nghiệm của hệ (3) nếu

*

Vừa rồi ta xét các hàm khẳng định trên toàn không gian

*
trở lại đầu bài những hàm chỉ cần xác định bên trên miền (mở+liên thông). Cũng cần để ý việc xác minh trên toàn không khí là rất bắt buộc qua ví dụ:

– hàm

*
là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn trụ đơn vị.

Xem thêm: Tác Dụng Của Tụ Điện Để Làm Gì ? Nguyên Lý Hoạt Động Và Ứng Dụng Của Tụ Điện

Phần cuối của nội dung bài viết ta quay trở về xét hàm

*
là miền vào
*
H. Brezis là người trước tiên đưa ra những điều kiện độc đáo dạng tích phân như sau:

Hàm đo được

*
thỏa mãn

*

thì

*
là hàm hằng.

Tổng quát rộng một chút, cùng với

*
thỏa mãn

*

*
\delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />