I. Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Trước hết chúng ta cần giải thích 1 chút về từ ngữ. Ở đầu bài viết có viết “tìm m để hàm số có ba cực trị”. Viết như vậy không được chính xác với khái niệm của SGK. Vì điểm cực trị của hàm số khác với cực trị của hàm số. Chính xác thì hàm trùng phương bậc 4 chỉ có tối đa 2 cực trị. Và bài toán phải phát biểu lại là “tìm m để hàm số có ba điểm cực trị (hoặc 2 cực trị)”. Sau đây là điều kiện để hàm số trùng phương có 2 cực trị:
1. Phương pháp giải
- Bước 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b
y′=0⇔x=0
hoặc g(x) = 2ax2 + b = 0 ⇔ x2 = -2ab
Để hàm số có 3 cực trị ⇔
⇒m ϵ D(∗)
Nhận xét: Phương trìnhy′=0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm số ban đầu là hàm chẵn, nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy.
Bạn đang xem: Hàm số có 3 điểm cực trị khi nào
Giả sử ba điểm cực trị là A ∈ Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy.
- Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = 2x4 + (3m – 6)x2 + 3m - 5
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Lời giải:
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x4–2(m+1)x2+m2, với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Cách giải:
Đạo hàm y" =4x3−4(m+1)x
Ví dụ 3: tìm m để hàm số y=x4+(m+2015)x2+5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
Cách giải:
Với a = 1, b = m +2015.
Ta có: 8a + b3 = 0⇒b3=−8⇒m=−2017
II. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = -x4 + m 3√3x2 + m + 2
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Xem thêm: Chứng Minh Câu Tục Ngữ Uống Nước Nhớ Nguồn Ăn Quả Nhớ Kẻ Trồng Cây
Lời giải:
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=98x4+3(m−2017)x2 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều.
Cách giải:
Với a = 98, b = 3(m−2017)
ta có: 24a + b3 = 0⇒b3=−27⇒m = 2016
III. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị hàm trùng phương: