Định lí: trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bởi tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân cùng với (cosin) của góc xen thân chúng.
Bạn đang xem: Hệ thức lượng giác cơ bản
Ta có các hệ thức sau:
$$eqalign & a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos A , , (1) cr & b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos B , , (2) cr & c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos C , , (3) cr $$
(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc) (cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)
(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)
Áp dụng: Tính độ dài con đường trung con đường của tam giác:
Cho tam giác (ABC) có những cạnh (BC = a, CA = b) và (AB = c). Call (m_a,m_b) và (m_c) là độ dài các đường trung đường lần lượt vẽ từ các đỉnh (A, B, C) của tam giác. Ta có
(m_a^2) = (dfrac2.(b^2+c^2)-a^24)
(m_b^2) = (dfrac2.(a^2+c^2)-b^24)
(m_c^2) = (dfrac2.(a^2+b^2)-c^24)
2. Định lí sin
Định lí: trong tam giác (ABC) bất kỳ, tỉ số thân một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng 2 lần bán kính của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là
(dfracasin A= dfracbsin B = dfraccsin C = 2R)
với (R) là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Công thức tính diện tích tam giác
Ta kí hiệu ha, hb cùng hc là các đường cao của tam giác (ABC) theo thứ tự vẽ từ các đình (A, B, C) với (S) là diện tích s tam giác đó.
Diện tích (S) của tam giác (ABC) được xem theo một trong những công thức sau
(S = dfrac12 ab sin C= dfrac12 bc sin A ) (= dfrac12ca sin B , ,(1))
(S = dfracabc4R, ,(2))
(S = pr, ,(3))
(S = sqrtp(p - a)(p - b)(p - c)) (công thức Hê - rông) ((4))
3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số trong những yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố không giống của tam giác đó.
Muốn giải tam giác ta đề xuất tìm mối contact giữa các yếu tố đã mang đến với các yếu tố chưa chắc chắn của tam giác thông qua các hệ thức đã có nêu vào định lí cosin, định lí sin và những công thức tính diện tích tam giác.
Các việc về giải tam giác: gồm 3 việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:
a) Giải tam giác lúc biết một cạnh với hai góc.
Xem thêm: Trắc Nghiệm Toán Hình 10 Chương 1, Trắc Nghiệm Hình Học 10
Đối với bài toán này ta thực hiện định lí sin nhằm tính cạnh còn lại
b) Giải tam giác lúc biết hai cạnh và góc xen giữa
Đối với vấn đề này ta thực hiện định lí cosin để tính cạnh máy ba
c) Giải tam giác khi biết ba cạnh
Đối với câu hỏi này ta thực hiện định lí cosin để tính góc
(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc)
(cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)
(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)
Chú ý:
1. Cần chú ý là một tam giác giải được lúc ta biết 3 nguyên tố của nó, trong những số đó phải có ít nhất một nguyên tố độ lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt 2)
2. Vấn đề giải tam giác được áp dụng vào những bài toán thực tế, độc nhất vô nhị là những bài toán đo đạc.