1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương từng cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bạn đang xem: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông trên A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"
2. Một số hệ thức tương quan đến mặt đường cao
a) Định lý 1
trong một tam giác vuông, bình phương mặt đường cao ứng cùng với cạnh huyền bằng tích nhì hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền
vào tam giác ABC vuông trên A ta có: h2 = b".c".
b) Định lý 2
trong một tam giác vuông, tích của nhị cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với mặt đường cao tương ứng
trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
trong tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương con đường cao ứng cùng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch hòn đảo của bình phương nhì cạnh góc vuông.
trong tam giác ABC vuông tại A ta có:
3. Các dạng toán thường xuyên gặp về một số hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn trực tiếp trong tam giác vuông
Phương pháp giải: đến tam giácABC vuông trên A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai vào sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài tứ đoạn thẳng còn sót lại bằng câu hỏi vận dụng những hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh những hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và mặt đường cao một cách phải chăng theo hướng:
Bước 1. Chọn những tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng bao gồm trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng kia nhờ hệ thức về cạnh và mặt đường cao.
Bước 3. Liên kết những giá trị trên để rút ra hệ thức yêu cầu chứng minh.
Chú ý: có thể vẽ thêm hình phụ để tạo ra thành tam giác vuông hoặc tạo thành mặt đường cao vào tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
4. Ví dụ núm thể
Cho tam giác ABC vuông trên A, con đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.
a) Tính những cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do kia AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông tại A, ta tất cả AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy bảo hành = 5,4cm. Từ kia HC = BC - bảo hành = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính bh như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài bác tập trường đoản cú luận
Bài 1: Tính x, y trong số trường hòa hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 giỏi x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 tốt y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, con đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC gồm AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông trên A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính hóa học tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Xem thêm: Chuyên Đề Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối, Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
Ta gồm DA + DB = AB
⇔ da + 25/7 da = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ da = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC giảm AC, BC theo đồ vật tự D và E. Tính DE.