+ Với
là một hằng số nào đó, ta luôn có
\!\!\text{ }"=F"(x)" />nên tổng quát hóa ta viết
.
Bạn đang xem:
Họ nguyên hàm của hàm số Khi đó
được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số
. Với một giá trị cụ thể của
thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ:
+ Hàm số
có nguyên hàm là
vì
.
+ Hàm số
có nguyên hàm là
vì
.
+ Mọi hàm số liên tục trên
đều có nguyên hàm trên
.
2. Các tính chất của nguyên hàm
Cho các hàm số
và
liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng
và
, khi đó ta có các tính chất sau:
+ Tính chất 1:
.
+ Tính chất 2:
.
+ Tính chất 3:
\!\!\text{ }dx=\int{{f(x)dx\pm \int{{g(x)dx}}}}}}" />.
+ Tính chất 4:
.
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
B. Bài tập
Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm
Ví dụ 1.1:Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
| a). | b). |
| c). | d). |
| e). | f){x})dx}}" />. |
Lời giải:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
{x})dx}}=\int{{\frac{1}{{\sqrt{x}}}dx}}+\int{{\sqrt<3>{x}}}dx=\int{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}dx}}+\int{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}dx=2{{x}^{{\frac{1}{2}}}}+\frac{3}{4}{{x}^{{\frac{4}{3}}}}+C" />.
Ví dụ 1.2:Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết
.
Lời giải:
Ta có
.
Vì
là một nguyên hàm của
nên có dạng
.
Mà
. Do đó
.
Ví dụ 1.3:Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Tìm
để
.
Lời giải:
Ta có
.
Vì
là một nguyên hàm của
nên có dạng
.
Mặt khác
. Do đó
.
Khi đó
(thỏa mãn).
Vậy
hoặc
.
Xem thêm:
Các Dạng Bài Tập Hàm Số Lượng Giác, Phương Pháp Giải Bài Tập Toán 11Ví dụ 1.4:Tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.
