Bài viết trình bày các dạng toán thường chạm chán và phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ), đây là dạng toán rất thông dụng trong công tác Giải tích 12 chương 3.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn u

Để tìm nguyên hàm của các hàm số đựng căn thức (hàm số vô tỉ) ta buộc phải linh hoạt lựa chọn 1 trong các phương thức cơ bạn dạng sau:1. Phương pháp tam thức bậc hai.2. Cách thức phân tích.3. Phương thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.5. Sử dụng các cách thức khác nhau.Sau đây chúng ta cùng đi chu đáo từng dạng.

Dạng toán 1: tìm nguyên hàm các hàm số đựng căn thức (hàm số vô tỉ) dựa trên tam thức bậc hai.Trên các đại lý đưa tam thức bậc nhì về dạng chủ yếu tắc với dùng những công thức sau:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight|$ $ + C.$

Ví dụ 1: search nguyên hàm những hàm số chứa căn thức sau:a) $int fracxdxsqrt x^2 + 1 .$b) $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x .$

a) Ta hoàn toàn có thể lựa chọn các cách trình bày sau:Cách 1: Ta đổi thay đổi: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdleft( x^2 + 1 ight)2sqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac12du.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 3: Đặt $u = sqrt x^2 + 1 $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $ Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = udu.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 = int fracuduu $ $ = int du = u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$b) Ta rất có thể lựa chọn các cách trình bày sau:Cách 1: Ta vươn lên là đổi: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdleft( 2x^2 + 2x ight)2sqrt 2x^2 + 2x $ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 2: Đặt $u = 2x^2 + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = frac12du.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 3: Đặt: $u = sqrt 2x^2 + 2x $, suy ra: $u^2 = 2x^2 + 2x$ $ Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracuduu $ $ = int d u = u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm các hàm số đựng căn thức sau:a) $f(x) = frac1sqrt x^2 – a .$b) $f(x) = frac1sqrt x^2 – x – 1 .$

a) Đặt $t = x + sqrt x^2 – a $, suy ra: $dt = left( 1 + fracxsqrt x^2 – a ight)dx$ $ = fracsqrt x^2 – a + xsqrt x^2 – a dx$ $ = fractdxsqrt x^2 – a $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – a = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – a $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x + sqrt x^2 – a ight| + C.$b) Ta có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12$ $ Rightarrow dt = dx.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtsqrt t^2 – frac54 $ $ = ln left| t + sqrt t^2 – frac54 ight| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$Cách 2: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 $, suy ra: $dt = left( 1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = left( 1 + fracx – frac12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = fracleft( sqrt x^2 – x – 1 + x – frac12 ight)dxsqrt x^2 – x – 1 $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – x – 1 = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$

Ví dụ 3: Biết rằng $int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$ search nguyên hàm: $I = int sqrt x^2 + 3 dx.$

Sử dụng cách thức nguyên hàm từng phần bằng cách đặt:$left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 3 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxsqrt x^2 + 3 dx\v = xendarray ight.$Khi đó: $I = xsqrt x^2 + 3 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 – int fracleft( x^2 + 3 – 3 ight)dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 $ $ – int sqrt x^2 + 3 dx$ $ + int frac3dxsqrt x^2 + 3 .$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 3 $ $ + 3ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$$ Leftrightarrow I = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$Chú ý: Với các em học sinh đã tay nghề trong việc tính nguyên hàm hoàn toàn có thể trình bày theo cách sau:$sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot frac2x^2 + 6sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( sqrt x^2 + 3 + fracx^2sqrt x^2 + 3 ight)$ $ + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 .$Khi đó: $I = frac12int left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime dx$ $ + frac32int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$

Ví dụ 4: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^2sqrt x^2 + 1 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int left( sqrt x^2 + 1 – frac1sqrt x^2 + 1 ight)dx $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx$ $ – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight|$ $ – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C$ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ – frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$

Dạng 2: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – ax + a $, với $a > 0.$ Ta có thể lựa lựa chọn một trong hai biện pháp sau:Cách 1: vì điều kiện: $fracx – ax + a ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge a\x endarray ight.$ đề nghị ta xét nhị trường hợp:Trường hòa hợp 1: Với $x ge a$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 – aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = sqrt x^2 – a^2 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Trường thích hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = – int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 $ $ + aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – sqrt x^2 – a^2 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Cách 2: Đặt: $t = sqrt fracx – ax + a $ $ Rightarrow t^2 = fracx – ax + a$ $ Rightarrow x = fracaleft( 1 + t^2 ight)1 – t^2$ $ Rightarrow dx = frac4atdtleft( 1 – t^2 ight)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac4at^2dtleft( 1 – t^2 ight)^2 $ $ = 4aint fracleft< left( t^2 – 1 ight) + 1 ight>dtleft( t^2 – 1 ight)^2 $ $ = 4aleft< underbrace int fracdtt^2 – 1 _I_1 + underbrace int fracdtleft( t^2 – 1 ight)^2 _1_2 ight>.$Các nguyên hàm $I_1$ cùng $I_2$ bọn họ đã biết phương pháp giải.

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – 1x + 1 .$

Vì điều kiện $fracx – 1x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge 1\x endarray ight.$, ta xét nhị trường hợp:Trường đúng theo 1: Với $x ge 1$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 – int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = sqrt x^2 – 1 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$Trường hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = – int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 + int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = – sqrt x^2 – 1 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$

Dạng 3: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracdxsqrt ax + b + sqrt ax + c $, với $a e 0$ và $b – c e 0.$ Khử tính vô tỉ ở mẫu mã số bằng cách trục căn thức, ta được:$I = frac1b – cint (sqrt ax + b + sqrt ax + c ) dx$ $ = frac1a(b – c)left< int (ax + b)^1/2 d(ax + b) + int (ax + c)^1/2 d(ax + c) ight>$ $ = frac23a(b – c)left< sqrt (ax + b)^3 + sqrt (ax + c)^3 ight> + C.$

Ví dụ 1: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 ight) dx$ $ = int fracsin xdxcos x $ $ + int fracsqrt 2x + 1 – sqrt 2x – 1 2 dx$ $ = – ln |cos x|$ $ + frac13left< (2x + 1)^3/2 – (2x – 1)^3/2 ight> + C.$

Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac2xx + sqrt x^2 – 1 .$

Ta rất có thể lựa chọn một trong hai bí quyết giải sau:Cách 1: (Sử dụng phương pháp biến đổi): Ta có:$int f (x)dx$ $ = int frac2xx + sqrt x^2 – 1 dx$ $ = int frac2xleft( x – sqrt x^2 – 1 ight)x^2 – x^2 + 1 dx$ $ = int 2 x^2dx – int 2 xsqrt x^2 – 1 dx$ $ = frac23x^3 – int sqrt x^2 – 1 dleft( x^2 – 1 ight) + C$ $ = frac23x^3 – frac23sqrt left( x^2 – 1 ight)^3 + C.$Cách 2: (Sử dụng phương pháp đổi trở nên số): Đặt $t = x + sqrt x^2 – 1 $ ta có:$t – x = sqrt x^2 – 1 $ $ Rightarrow x = fract^2 + 12t$ $ Rightarrow dx = fract^2 – 12t^2dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int frac2xdxx + sqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2 cdot fract^2 + 12t cdot fract^2 – 12t^2dtt $ $ = int fracleft( t^4 – 1 ight)dt2t^4 $ $ = frac12int left( 1 – frac1t^4 ight) dt$ $ = frac12left( t + frac13t^3 ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt x^2 – 1 ight)$ $ + frac16left( x + sqrt x^2 – 1 ight)^3 + C.$

Dạng 4: search nguyên hàm của hàm số cất căn thức (hàm số vô tỉ) bằng phương pháp sử dụng các đồng nhất thức.Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracxsqrt<10>x + 1.$

Sử dụng đồng hóa thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = fracx + 1 – 1sqrt<10>x + 1$ $ = (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10 ight> dx$ $ = frac1019(x + 1)^19/10$ $ – frac109(x + 1)^9/10 + C.$

Dạng 5: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracv(x)dxsqrt u^2(x) pm alpha .$Ta thực hiện theo quá trình sau:Bước 1: Phân tích: $fracv(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ = fracaleft< u^2(x) + alpha ight>sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fracbu(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fraccsqrt u^2(x) + alpha .$Sử dụng phương thức hằng số cô động ta xác định được $a,b,c.$Bước 2: Áp dụng những công thức:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a $ $ = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x .$

Ta có: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = frac2x^2 + 1sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracaleft< (x + 1)^2 – 1 ight>sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fracb(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fraccsqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracax^2 + (2a + b)x + b + csqrt x^2 + 2x .$Đồng độc nhất đẳng thức, ta được:$left{ eginarray*20la = 2\2a + b = 0\b + c = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 2\b = – 4\c = 5endarray ight.$Khi đó: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = 2sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 .$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< 2sqrt (x + 1)^2 – 1 – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 ight> dx$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ – ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x $ $ + 5ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight| + C$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ + 4ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x + C.$

Dạng 6: (Phương pháp đổi biến) tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt (x + a)(x + b) .$ Ta xét nhị trường hợp:Trường vừa lòng 1: Với: $left{ eginarray*20lx + a > 0\x + b > 0endarray ight.$Đặt $t = sqrt x + a + sqrt x + b $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x + a + frac12sqrt x + b ight)dx$ $ = frac(sqrt x + a + sqrt x + b )dx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x + a + sqrt x + b | + C.$Trường hòa hợp 2: Với: $left{ {eginarray*20l{x + a x + b endarray ight.$Đặt $t = sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt – (x + a) – frac12sqrt – (x + b) ight>dx$ $ = – fracdx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = – frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = – 2int fracdtt $ $ = – 2ln |t| + C$ $ = – 2ln |sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) | + C.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt x^2 – 5x + 6 .$

Biến đổi $I$ về dạng: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) .$Ta xét nhì trường hợp:Trường đúng theo 1: Với: $left{ eginarray*20lx – 2 > 0\x – 3 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow x > 3.$Đặt $t = sqrt x – 2 + sqrt x – 3 $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x – 2 + frac12sqrt x – 3 ight)dx$ $ = frac(sqrt x – 2 + sqrt x – 3 )dx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x – 2 + sqrt x – 3 | + C.$Trường phù hợp 2: Với $left{ {eginarray*20l{x – 2 x – 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow x Đặt $t = sqrt 2 – x + sqrt 3 – x $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt 2 – x – frac12sqrt 3 – x ight>dx$ $ = – fracdx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = – frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = – 2int fracdtt $ $ = – 2ln |t| + C$ $ = – 2ln |sqrt 2 – x + sqrt 3 – x | + C.$

Dạng 7: (Phương pháp thay đổi biến): kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 – x^2 ight)dx$ với $a > 0.$Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20la\aendarray ight.$ (hoặc tất cả thể $t = x + sqrt a^2 – x^2 $).Bước 2: việc được gửi về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^3sqrt 1 – x^2 .$

Ta rất có thể trình bày theo hai cách sau:Cách 1: Đặt $x = sin t$, $ – fracpi 2 khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int (3sin t – sin 3t) dt$ $ = – frac34cos t + frac112cos 3t + C$ $ = – frac34cos t + frac112left( 4cos ^3t – 3cos t ight) + C$ $ = frac13cos ^3t – cos t + C$ $ = left( frac13cos ^2t – 1 ight)cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – sin ^2t ight) – 1 ight>cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – x^2 ight) – 1 ight>sqrt 1 – x^2 + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$Chú ý: trong những giải trên ta có: $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\cos t = sqrt 1 – sin ^2t = sqrt 1 – x^2 endarray ight.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 – x^2 $, suy ra: $x^2 = 1 – t^2$, tự đó: $2xdx = – 2tdt$ và $fracx^3dxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracx^2xdxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracleft( 1 – t^2 ight)( – tdt)t$ $ = left( t^2 – 1 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int left( t^2 – 1 ight) dt$ $ = frac13t^3 – t + C$ $ = frac13left( t^2 – 3 ight)t + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$

Dạng 8: (Phương pháp đổi biến) search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 + x^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta thực hiện theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< {eginarray*20l{x = |a| an t: mvới: – fracpi 2 x = ight.$ (hoặc tất cả thể $t = x + sqrt a^2 + x^2 $).Bước 2: bài toán được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt 1 + x^2 .$

Ta rất có thể trình bày theo hai bí quyết sau:Cách 1: Đặt $x = an t$, $ – fracpi 2 khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtcos ^3t $ $ = int fraccos tdtcos ^4t $ $ = int fraccos tdtleft( 1 – sin ^2t ight)^2 .$Đặt $u = sin t$, suy ra: $du = cos tdt$ và $frac m cos tdt m left( 1 – sin ^2t ight)^2$ $ = fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2 $ $ = frac14left< ln left ight> + C$ $ = frac14left< ln left ight> + C$ $ = frac14left< ln left ight> + C$ $ = frac14left( fracx + sqrt 1 + x^2 x – sqrt 1 + x^2 ight ight) + C$ $ = frac14left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C$ $ = frac12left( ln left ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = x + sqrt 1 + x^2 $, suy ra: $t – x = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow (t – x)^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow x = fract^2 – 12t.$$ Rightarrow sqrt 1 + x^2 $ $ = t – fract^2 – 12t$ $ = fract^2 + 12t.$$ Rightarrow dt = left( 1 + fracxsqrt 1 + x^2 ight)dx$ $ = fracx + sqrt 1 + x^2 sqrt 1 + x^2 dx$ $ = frac2t^2t^2 + 1dx$ $ Leftrightarrow dx = fract^2 + 12t^2dt$, $sqrt 1 + x^2 dx$ $ = fract^2 + 12t cdot fract^2 + 12t^2dt$ $ = frac14fracleft( t^2 + 1 ight)^2t^3dt$ $ = frac14left( t + frac2t + frac1t^3 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int left( t + frac2t + frac1t^3 ight) dt$ $ = frac14left( frac12t^2 + 2ln ight) + C$ $ = frac18left< left( t^2 – frac1t^2 ight) + 4ln ight> + C$ $ = frac18left< x + sqrt 1 + x^2 ight ight> + C$ $ = frac12left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C.$Cách 3: (Sử dụng cách thức tích phân từng phần).Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 1 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + 1 \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + 1 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 .$Trong đó: $int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = I – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + 1 $ $ – left( + C ight).$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 1 + ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$$ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + 1 + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Chú ý:1. Trong cách giải trước tiên sở dĩ ta có: $sqrt 1 + x^2 = frac1cos t$ và $sin t = fracxsqrt 1 + x^2 $ là bởi $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\sin t = an t.cos t = fracxsqrt 1 + x^2 endarray ight.$2. Cả ba phương pháp trên (tốt độc nhất vô nhị là cách thức 2) được vận dụng để tìm những nguyên hàm:$int sqrt x^2 + a dx$ $ = fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight|$ $ + fracx2sqrt x^2 + a + C.$$int fracdxsqrt x^2 + a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$3. Cùng với nguyên hàm $int fracdxsqrt left( a^2 + x^2 ight)^2k + 1 $, với $k in Z$ rất tốt là sử dụng phương pháp 1.4. Với nguyên hàm $I = int sqrt (x + a)(x + b) dx$ ta hoàn toàn có thể thực hiện như sau:Đặt $t = x + fraca + b2$ và $A = – frac(b – a)^24$, suy ra: $dt = dx$ và $sqrt (x + a)(x + b) dx$ $ = sqrt t^2 + A dt.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + A dt$ $ = fracA2ln left| t + sqrt t^2 + A ight|$ $ + fract2sqrt t^2 + A + C$ $ = – frac(b – a)^28ln left| x + fraca + b2 + sqrt (x + a)(x + b) ight|$ $ + frac2x + a + b4sqrt (x + a)(x + b) + C.$

Dạng 9: (Phương pháp thay đổi biến): search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt x^2 – a^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20lx = fracsin t: mvới:t in left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>ackslash 0 \x = fraccos t: mvới:t in <0,pi >ackslash left fracpi 2 ight\endarray ight.$ (hoặc có thể $t = sqrt x^2 – a^2 .$Bước 2: bài toán được chuyển về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 .$

Ta có thể trình bày theo hai biện pháp sau:Cách 1: Đặt $t = sqrt x^2 – 1 $ thì $t^2 = x^2 – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = fracxdx2left( x^2 – 1 ight) + 3sqrt x^2 – 1 + 1$ $ = frac m tdt m 2t^2 + 3t + 1.$Khi đó: $int f (x)dx = int fractdt2t^2 + 3t + 1 .$Ta có: $frac12t^2 + 3t + 1$ $ = fract(2t + 1)(t + 1)$ $ = fraca2t + 1 + fracbt + 1$ $ = frac(a + 2b)t + a + b(2t + 1)(t + 1).$Đồng tuyệt nhất đẳng thức, ta được: $left{ eginarray*20la + 2b = 1\a + b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = – 1\b = 1endarray ight.$Khi đó: $fract2t^2 + 3t + 1$ $ = – frac12t + 1 + frac1t + 1.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left( – frac12t + 1 + frac1t + 1 ight) dt$ $ = – frac12ln |2t + 1| + ln |t + 1| + C$ $ = frac12ln frac(t + 1)^22t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Cách 2: bởi vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét nhì trường hợp:Trường thích hợp 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = frac1cos t$, $t in left< 0;fracpi 2 ight)$ suy ra $dx = fracsin tdtcos ^2t.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = int fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = int fracfrac1cos t cdot fracsin tcos ^2tdtfrac2cos ^2t – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2left( 1 + an ^2t ight) – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2 an ^2t + 3 an t + 1 .$Đặt $u = an t$ suy ra: $du = fracdtcos ^2t = left( 1 + an ^2t ight)dt.$Khi đó: $I = int fracudu2u^2 + 3u + 1 $ $ = int left( – frac12u + 1 + frac1u + 1 ight) du$ $ = – frac12ln |2u + 1| + ln |u + 1| + C$ $ = frac12ln frac(u + 1)^2 + C$ $ = frac12ln frac( an t + 1)^2 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Trường thích hợp 2: Với $x Dạng 10: (Phương pháp đổi biến) tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt (x – a)(b – x) ight)dx.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $x = a + (b – a)sin ^2t.$Bước 2: việc được chuyển về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt <(x – a)(b – x)>^3 $ với $a lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac1(b – a)^2int fracdtsin ^22t $ $ = – fraccot 2t2(b – a)^2 + C$ $ = – fraca + b – 2x2sqrt (x – a)(b – x) + C.$

Dạng 11: (Phương pháp thay đổi biến): search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt ax^2 + bx + c ight)dx.$Ta rất có thể lựa chọn một trong hai phương pháp sau:Cách 1: (Đưa $I$ về những dạng nguyên hàm cơ bạn dạng đã biết): Ta xét những trường hòa hợp sau:Trường đúng theo 1: Nếu $a > 0$ và $Delta Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 + left( frac2ax + bsqrt – Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: thực hiện phép thay đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt – Delta .$Bước 3: việc được gửi về $I = int S left( t,sqrt 1 + t^2 ight)dt.$Trường thích hợp 2: Nếu $a 0$ thì ta triển khai theo các bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 – left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: triển khai phép thay đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: việc được gửi về $I = int S left( t,sqrt 1 – t^2 ight)dt.$Trường thích hợp 3: Nếu $a > 0$ và $Delta > 0$ thì ta tiến hành theo các bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = fracDelta 4aleft< left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 – 1 ight>.$Bước 2: thực hiện phép biến đổi: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: việc được chuyển về $I = int S left( t,sqrt t^2 – 1 ight)dt.$Cách 2: (Sử dụng phép vậy Euler): Ta xét các trường phù hợp sau:1. Nếu $a > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = t – xsqrt a $ hoặc $t + xsqrt a .$2. Nếu $c > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tx + sqrt c $ hoặc $tx – sqrt c .$3. Giả dụ tam thức $ax^2 + bx + c$ bao gồm biệt số $Delta > 0$ thì: $ax^2 + bx + c$ $ = aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight).$ lúc đó đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tleft( x – x_1 ight).$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + 2x + 2 .$

Sử dụng phép đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + 1 dt.$ Tích phân này chúng ta biết biết cách xác định.

Dạng 12: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracdx(lambda x + mu )sqrt ax^2 + bx + c .$Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Đặt $t = frac1lambda x + mu .$Bước 2: việc được chuyển về $I = int fracdtsqrt alpha t^2 + eta t + gamma .$Chú ý: phương thức trên có thể được vận dụng cho dạng tổng quát hơn là: $I = int frac(Ax + B)dx(lambda x + mu )^nsqrt ax^2 + bx + c .$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 .$

Đặt $t = frac1x + 1$ thì $x = frac1t – 1$ suy ra: $dx = – frac1t^2dt$, $fracdx(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 $ $ = fractleft( – frac1t^2 ight)dtsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – fracdttsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = left{ {eginarray*20l – fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t > 0\fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t endarray ight.$Khi kia ta xét nhì trường hợp:Trường hòa hợp 1: cùng với $t>0$, ta được: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$Trường vừa lòng 2: Với $t tóm lại với $t e 0 Leftrightarrow x e – 1$ ta luôn luôn có: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$

Dạng 13: (Phương pháp đổi biến): tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrtfracax + bcx + d ight)dx$ với $ad – bc e 0.$Ta thực hiện theo quá trình sau:Bước 1: Đặt $t = sqrtfracax + bcx + d$ $ Rightarrow t^n = fracax + bcx + d$ $ Leftrightarrow x = fracb – dt^nct^n – a.$Bước 2: câu hỏi được đưa về: $I = int S (t)dt.$

Dạng 14: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracP(x)Q(x) cdot fracdxy$, vào đó $y = sqrt ax^2 + bx + c .$Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: so với hàm hữu tỉ $fracP(x)Q(x)$ thành các phân số buổi tối giản.Bước 2: gạn lọc các cách thức phù hợp cho từng tích phân mới.

Xem thêm: Quẻ Lôi Thiên Đại Tráng Giải Đoán, Ý Nghĩa Quẻ Kinh Dịch Số 34

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac6x^3 + 8x + 1left( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 .$

Ta có: $frac6x^3 + 8x + 13x^2 + 4$ $ = 2x + frac13x^2 + 4.$Do đó: $I = int f (x)dx$ $ = int left( 2x + frac13x^2 + 4 ight) frac1sqrt x^2 + 1 dx$ $ = underbrace int fracxdxsqrt x^2 + 1 _I_1$ $ + underbrace int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 _I_2.$Trong đó: $I_1 = int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x_.^2 + 1 + C.$Với $I_2$ ta triển khai phép thay đổi biến $t = fracxsqrt x^2 + 1 $ thì $x^2 = fract^21 – t^2$ suy ra: $dt = fracdxleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 .$Khi đó: $I_2 = int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 dtleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = smallint fracleft( fract^21 – t^2 + 1 ight)dtfrac3t^21 – t^2 + 4$ $ = int fracdt4 – t^2 $ $ = – frac14ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fract + 2t – 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = sqrt x^2 + 1 $ $ + frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$

Dạng 15: cách thức nguyên hàm từng phần.Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + a .$

Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + a \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + a \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + a – underbrace int fracx^2dxsqrt x^2 + a _J.$Biến đổi $J$ như sau: $J = int fracx^2dxsqrt x^2 + a $ $ = int fracleft< left( x^2 + a ight) – a ight>dxsqrt x^2 + a $ $ = int sqrt x^2 + a dx – aint fracdxsqrt x^2 + a $ $ = I – aln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + a $ $ – left( x + sqrt x^2 + a ight ight)$ $ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + a $ $ + fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$