Bài viết trả lời giải bài bác toán tìm nguyên hàm của những hàm số mũ và logarit bằng phương pháp sử dụng những phương pháp: phụ thuộc nguyên hàm cơ bản, phân tích, đổi phát triển thành và nguyên hàm từng phần … vào mỗi phương pháp sẽ có những ví dụ minh họa ví dụ với giải mã chi tiết.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của hàm logarit
Để khẳng định nguyên hàm của các hàm số mũ cùng logarit ta bắt buộc linh hoạt lựa lựa chọn 1 trong các phương pháp cơ phiên bản sau:1. Sử dụng những dạng nguyên hàm cơ bản.2. Phương thức phân tích.3. Phương thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.
Dạng toán 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ cùng logarit dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản.Bằng những phép biến đổi đại số, ta biến hóa biểu thức dưới dấu vết phân về các dạng nguyên hàm cơ bạn dạng đã biết.
Ví dụ 1: kiếm tìm nguyên hàm của những hàm số sau:a) $f(x) = frac1e^x – e^ – x.$b) $frac2^2x3^x16^x – 9^x.$
a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdleft( e^x ight)e^2x – 1 $ $ = frac12ln left| frace^x – 1e^x + 1 ight| + C.$b) Chia tử số và mẫu mã số của biểu thức dưới vết tích phân cho $4^x$, ta được:$int f (x)dx$ $ = int fracleft( frac43 ight)^xleft( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43int fracdleft< left( frac43 ight)^x ight>left( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43.frac12ln left| fracleft( frac43 ight)^x – 1left( frac43 ight)^x + 1 ight| + C$ $ = frac12(ln 4 – ln 3)ln left| frac4^x – 3^x4^x + 3^x ight| + C.$
Ví dụ 2: tìm kiếm nguyên hàm của các hàm số sau:a) $f(x) = frac11 + 8^x.$b) $f(x) = fracln (ex)3 + xln x.$
a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac11 + 8^x dx$ $ = int left( 1 – frac8^x1 + 8^x ight) dx$ $ = x – fracln left( 1 + 8^x ight)ln 8 + C.$b) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac1 + ln x3 + xln x dx$ $ = int fracd(xln x)3 + xln x $ $ = int fracd(3 + xln x)3 + xln x $ $ = ln |3 + xln x| + C.$
Dạng toán 2: tìm nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng phương thức phân tích. họ đã được thiết kế quen với phương thức phân tích nhằm tính các khẳng định nguyên hàm nói chung. Bây chừ đi xem xét chi tiết hơn về việc sử dụng cách thức này để xác minh nguyên hàm của các hàm số mũ với logarit. Yêu cầu hiểu rằng thực ra nó là 1 trong những dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng tại đây ta thực hiện các đồng điệu thức quen thuộc.
Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac11 – e^x.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = left( 1 – e^x ight) + e^x$, ta được:$frac11 – e^x$ $ = fracleft( 1 – e^x ight) + e^x1 – e^x$ $ = 1 + frace^x1 – e^x.$Suy ra: $int f (x)dx$ $ = int left( 1 + frace^x1 – e^x ight) dx$ $ = int d x – int fracdleft( 1 – e^x ight)1 – e^x $ $ = x – ln left| 1 – e^x ight| + C.$
Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int e^x sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 dx$ $ = int sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 dleft( e^x – 1
ight)$ $ = frace^x – 12sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| left( e^x – 1
ight) + sqrt left( e^x – 1
ight)^2 + 1
ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2
ight| + C.$Chú ý: Nếu các em học viên thấy nặng nề hình cần sử dụng một bí quyết cặn kẽ cách chuyển đổi để mang lại dạng cơ bản trong việc trên thì thực hiện theo hai bước sau:Bước 1: tiến hành phép đổi phát triển thành $t = e^x$, suy ra:$dt = e^xdx.$$e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 dx$ $ = sqrt t^2 – 2t + 2 dt$ $ = sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Khi đó: $int f (x)dx = int sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Bước 2: triển khai phép đổi biến $u = t – 1$, suy ra:$du = dt.$$sqrt (t – 1)^2 + 1 dt = sqrt u^2 + 1 du.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt u^2 + 1 du$ $ = fracu2sqrt u^2 + 1 $ $ + frac12ln left| u + sqrt u^2 + 1
ight| + C$ $ = fract – 12sqrt (t – 1)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| t – 1 + sqrt (t – 1)^2 + 1
ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2
ight| + C.$
Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt 1 + e^2x .$
Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:Cách 1: Ta có:$fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = frace^ – xdxsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 .$Khi đó:$int f (x)dx$ $ = – int fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 + e^2x $, suy ra:$t^2 = 1 + e^2x$ $ Rightarrow 2tdt = 2e^2xdx$ $ Leftrightarrow dx = fractdtt^2 – 1.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fractdttleft( t^2 – 1 ight) $ $ = int fracdtt^2 – 1 $ $ = frac12ln left| fract – 1t + 1 ight| + C$ $ = frac12ln left| fracsqrt 1 + e^2x – 1sqrt 1 + e^2x + 1 ight| + C.$Cách 3: Đặt $t = e^x$, suy ra $dt = e^xdx.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdttsqrt 1 + t^2 $ $ = int fracdtt^2sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – int fracdleft( frac1t ight)sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – ln left| frac1t + sqrt frac1t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 4: Đặt $t = e^ – x$, suy ra:$dt = – e^ – xdx$ $ Leftrightarrow – dt = fracdxe^x.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = int fracdxsqrt e^2xleft( e^ – 2x + 1 ight) $ $ = int fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = int frac – dtsqrt t^2 + 1 $ $ = – int fracdtsqrt t^2 + 1 $ $ = – ln left| t + sqrt t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left| e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight| + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1e^x – 4e^ – x.$
Đặt $e^x = t$, suy ra $e^xdx = dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxe^x – 4e^ – x $ $ = int frace^xdxe^2x – 4 $ $ = int fracdtt^2 – 4 $ $ = ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = ln left| frace^x – 2e^x + 2 ight| + C.$
Dạng toán 4: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng cách thức lấy nguyên hàm từng phần.Chúng ta đã được biết trong phần xác minh nguyên hàng bằng cách thức nguyên hàm từng phần, đối với các dạng nguyên hàm:Dạng 1: Tính: $int e^ax cos (bx)$ hoặc $int e^ax sin (bx)$ với $a,b
e 0.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = cos (bx)\dv = e^axdxendarray
ight.$ hoặc $left{ eginarray*20lu = sin (bx)\dv = e^axdxendarray
ight.$Ngoài ra cũng hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
Xem thêm: Từ Bài Bàn Luận Về Phép Học Hãy Nêu Suy Nghĩ Về Mối Quan Hệ Giữa Học Và Hành
Dạng 2: Tính: $int phường (x)e^alpha xdx$ với $alpha in R^*.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = P(x)\dv = e^alpha xdxendarray
ight.$Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương thức hằng số bất định.
Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm $I = int x ln frac1 – x1 + xdx.$
Đặt $left{ eginarray*20lu = ln frac1 – x1 + x\dv = xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = frac – 11 – x^2dx\v = frac12x^2endarray ight.$Khi đó: $I = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int fracx^22left( 1 – x^2 ight) dx$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int left( frac12left( 1 – x^2 ight) – frac12 ight) dx + C$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + frac14ln left| frac1 + x1 – x ight| – frac12x + C.$
Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an ^2x + an x + 1 ight)e^x.$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an ^2x + an x + 1 ight) e^x$ $ = int left( an ^2x + 1 ight) e^x + int e^x an xdx$ $(1).$Xét tích phân $J = int e^x an xdx$, đặt:$left{ eginarray*20lu = an x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxcos ^2x = left( 1 + an ^2x ight)dx\v = e^xendarray ight.$Khi đó: $J = e^x an x – int left( an ^2x + 1 ight) e^x$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $int f (x)dx = e^x an x + C.$