Phương trình bậc 5

Galois là nhà toán học người Pháp sống ở thế kỉ 19, ông mất vì lí do đấu súng và chỉ thọ 21 tuổi. Tuy vậy, cống hiến của ông phải khẳng định là rất quan trọng đối với nền toán học thế giới. Nói một cách dể hiểu, môn học lí thuyết Galois nghiên cứu việc giải các phương trình đa thức (vì sao con người quan tâm giải các phương trình loại này?). Các nhà toán học đã hoàn thành việc giải phương trình đa thức bậc nhỏ hơn 5 bằng căn thức, họ mang mong muốn sẽ giải được phương trình bậc 5 tổng quát bằng căn thức nhưng dường như mọi hướng tiếp cận trước đó đều không có tác dụng. Năm 1810, bên lề một cuốn sách của mình Ruffini đã ghi chú rằng:”Có lẽ phương trình bậc 5 tổng quát không thể giải được bằng căn thức”, nhận xét này được xem là một bước đột phá trong suy nghĩ. Ba năm sau, Ruffini đăng chứng minh của mình trên một tạp chí toán nhưng chứng minh này có rất nhiều lỗ hổng. Đến năm 1824, Niels Henrick Abel đưa ra một chứng minh và đặc biệt đã vá đầy các lỗ hổng trong chứng minh của Ruffini. Tuy nhiên, chứng minh của Abel dài dòng và có một số sai xót nhỏ. Đến năm 1879, Leopold Kronecker đưa ra một chứng minh đơn giản và hoàn chỉnh dựa trên ý tưởng của Abel.

Bạn đang xem: Phương trình bậc 5

Phương trình bậc 5 tổng quát không thể giải được bằng căn thức, tuy nhiên một lớp các phương trình bậc 5 đặc biệt vẫn có thể giải được bằng công cụ này. Câu hỏi được đặt ra, vậy khi nào thì có thể giải được bằng căn thức. Abel đã theo đuổi câu hỏi này đến tận lúc ông qua đời năm 1829.

Sau đó 3 năm, chàng trai trẻ người Pháp, Galois đã giải quyết được câu hỏi đó. Có đến 3 lần Galois gửi chứng minh của mình đến Viện Hàn lâm khoa học Pháp nhưng đều bị làm mất hoặc thất lạc. Mãi đến tháng 4 năm 1843, Liouville mới tìm thấy bản thảo chứng minh của Galois. Đó là lịch sử, để hiểu hết những gì đã xảy ra trong lịch sử mà tôi tóm lược ở trên cần đi hết những phần cơ bản nhất của lí thuyết Galois.

Đa thức

" class="latex" />, ta nói giải được bằng căn thức nếu các nghiệm của nó có thể biểu diễn được bởi các phép toán và phép lấy căn bậc . Theo lí thuyết trường, giải được nếu tồn tại một chuỗi các trường sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

chứa một trường phân rã của .

Việc giải bằng căn thức đối với các phương trình đa thực bậc nhỏ hơn 5 được các nhà toán học lần lượt đưa ra lời giải.

Phương trình bậc nhất tổng quát

có nghiệm duy nhất .

Phương trình bậc hai được đã được người Babylon giải số từ 1600 BC thông qua một bảng giải thực chất là hình thành một quá trình lặp để xấp xỉ nghiệm. Phương trình bậc hai tổng quát có dạng

(hệ số nên có thể chia cả hai vế của phương trình để thu được hệ số cả bằng 1) viết lại dưới dạng:

lấy căn bậc hai (có thể là căn bậc hai phức) ta có

.

Phương trình bậc ba tổng quát có dạng:

, đầu tiên đổi biến để hệ số . Đổi đây được gọi là phép biến đổi Tschirnhaus theo tên người đầu tiên sử dụng kĩ thuật này. Phương trình trở thành:

trong đó

Tìm nghiệm

của phương trình trên nhờ bước trung gian:

khi đó theo định lí Vieta ta biết được mối liên hệ giữa các tham số

như sau: và , giải phương trình ta thu được các nghiệm chú ý điều kiện chọn nghiệm cho phương trình ban đầu .

Phương trình bậc bốn tổng quát có dạng:

có các nghiệm (có đủ 4 nghiệm theo định lí cơ bản của đại số). Đổi biến đưa về dạng . Tiến hành đổi biến:

sử dụng định lí Vieta ta tìm được mối liên hệ giữa

như sau: . Khi đó là các nghiệm của phương trình bậc ba: , phương trình bậc ba ta đã biết cách giải.

Xem thêm: Hãy Chứng Minh Bảo Vệ Rừng Là Bảo Vệ Cuộc Sống Của Chúng Ta Hay Nhất

Đối với phương trình bậc 5 hiện tại ta cần thêm nhiều kiến thức khác, chúng ta sẽ xét đến vào một bài đăng khác.