Các dạng toán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài bác tập từ cơ bản đến cải thiện - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với những hàm lượng giác thì các dạng bài xích tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau mà các em vẫn học trong lịch trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11


Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương thức giải này để gia công các bài tập trường đoản cú cơ bạn dạng đến cải thiện về phương trình lượng giác.

I. định hướng về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, lúc ấy phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa cosα = a, lúc ấy phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

- Nếu α vừa lòng điều kiện

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và cách thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương ứng với từng phương trình.

* lấy ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số trong những phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để lấy về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* lấy một ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* giữ ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu ý: bài toán áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: Bài toán bên trên có vận dụng công thức chuyển đổi tổng thành tựu và phương pháp nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình hàng đầu có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta bao gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu giữ ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* lấy ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ cùng với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 cần loại

+ 

*
*
 
*

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế mang đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - ví như phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cố d = d.sin2x + d.cos2x, với rút gọn mang về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ phương pháp 1: Chia nhì vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ bí quyết 2: Sử dụng cách làm sinx với cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) bao gồm nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng thể của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu ý: bài bác toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx cùng cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Trọn Bộ Đề Thi Hóa 8 Học Kì 2 Môn Hoá 8 Có Lời Giải, Trọn Bộ Đề Thi Học Kỳ 2 Lớp 8 Môn Hóa Học

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- giữ ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- cho nên vì vậy sau khi tìm được nghiệm của PT (*) bắt buộc kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng cơ mà cũng có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài bác tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với hầu như giá trị làm sao của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bằng nhau?

° giải thuật bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải mã bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT bao gồm họ nghiệm là 

*

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải mã bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0