Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 10. Vậy hệ tọa độ mặt phẳng là gì? Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 cần ghi nhớ gì? Các phương pháp giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng?… Trong bài viết dưới đây, nofxfans.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!


Mục lục

1 Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy1.2 Phương trình đường thẳng là gì?2 Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng2.1 Các bài toán liên quan đến đường thẳng2.2 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 2.3 Các bài toán liên quan đến phương trình Elip3 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao

Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy

Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?

Hệ gồm 2 trục \( Ox, Oy \) vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc \( Oxy \) trong mặt phẳng với :


\( Ox \) là trục hoành\( Oy \) là trục tung

Phương trình đường thẳng là gì?

Định nghĩa phương trình đường thẳng là gì?

*

*

Cách viết phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Hai điểm bất kì \(A(x_a;y_a); B(x_b;y_b)\) với \(x_a\neq x_b\) và \(y_a\neq y_b\)

\(\frac{x-x_a}{x_b-x_a}=\frac{y-y_a}{y_b-y_a}\)

Hai điểm có cùng hoành độ \(A(m;y_a); B(m;y_b)\)

\(x=m \Leftrightarrow x-m=0\)

Hai điểm có cùng tung độ \(A(x_a;m); B(x_b;m)\)

\(y=m \Leftrightarrow y-m=0\)

Hai điểm thuộc hai trục tọa độ \(A(a;0); B(0;b)\) với \(a;b\neq 0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ( Phương trình đoạn chắn )

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) có hệ số góc \( k \)

\(y-y_0=k(x-x_0)\)

Phương trình đường thẳng \( \Delta \) đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng \(d: Ax+By+C=0\) cho trước

\(\Delta \parallel d : Ax+By+C’=0\) với \(C \neq C’\)

\(\Delta \bot d : -Bx+Ay+m =0\)

*

*

Phương trình đường tròn là gì?

*

Phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

Cho điểm \(M(x_0;y_0)\) nằm trên đường tròn \((C): (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Khi đó phương trình đường thẳng tiếp xúc với \( (C) \) tại \( M \) là :

\((x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0\)

Chu vi đường tròn : \(C=2\pi R\)

Diện tích hình tròn : \(S=\pi R^2\)

Phương trình đường Elip là gì?

*

Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng

Các bài toán liên quan đến đường thẳng

Dạng bài viết phương trình đường thẳng 

Chúng ta sử dụng các công thức ở phần trên để lập phương trình đường thẳng dựa vào các dữ kiện của đề bài

Ví dụ

Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \) cho tam giác \( ABC \) có \(A(-2;1); B(2;3); C(1;-5)\). Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(\widehat{ABC}\)

Cách giải 

Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kì ta có :

Phương trình đường thẳng \(AB: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{2}\Leftrightarrow x-2y+4=0\)

Phương trình đường thẳng \(AC : \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{-6}\Leftrightarrow 2x+y-3=0\)

Vậy áp dụng công thức phương trình đường phân giác ta có: phương trình đường phân giác trong của góc \(\widehat{ABC}\) là:

\(\frac{x-2y+4}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2x+y-3}{\sqrt{2^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow x+3y-7=0\)

Dạng bài về khoảng cách

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và cách điểm \(A(x_A;y_A)\) một khoảng bằng \( h \) cho trước.

Bạn đang xem: Phương trình tọa độ trong mặt phẳng

*

Ví dụ 

Lập phương trình đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( A(3;4) \) và cách điểm \( B(-1;1) \) một khoảng bằng \( 4 \)

Cách giải

Vì \(A(3;4)\in d\Rightarrow\) phương trình tổng quát của đường thẳng \( d \) có dạng :

\(a(x-3)+b(y-4)=0\)

Khi đó:

\(4=d(B,d)=\frac{|-4a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Leftrightarrow 16(a^2+b^2)=16a^2+24ab+9b^2\)

\(\Leftrightarrow 7b^2=24ab \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{7}{24}\)

Chọn \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=24 \end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng \( d \) là :

\( 3(x-3)+24(y-4) =0 \)

\(\Leftrightarrow 3x+24y-105=0\)

Dạng bài về góc khi viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và tạo với đường thẳng \(d’: Ax+By+C=0\) một góc bằng \(\alpha\)

*

Ví dụ 

Cho đường thẳng \(\Delta : 3x-2y+1=0\). Viết phương trình đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M(1;2) \) và tạo với \( \Delta \) một góc \(45^{\circ}\)

Cách giải 

Vì \(M(1;2)\in d \Rightarrow\) phương trình tổng quát của đường thẳng \( d \) có dạng :

\(a(x-1)+b(y-2)=0\)

Khi đó ta có :

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (d,\Delta)=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{3^2+2^2}.\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Leftrightarrow 13(a^2+b^2)=2(9a^2-12ab+4b^2)\)

\(\Leftrightarrow 5a^2-24ab-5b^2=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}=-\frac{1}{5}\\ \frac{a}{b}=5 \end{matrix}\right.\)

Vậy ta chọn \(\left<\begin{array}{l} (a;b)=(1;-5)\\(a;b)=(5;1) \end{array}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng \( d \) là :

\(\left<\begin{array}{l} x-1-5(y-2)=0\\5(x-1)+y-2=0 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left<\begin{array}{l} x-5y+9=0\\5x+y-7=0 \end{array}\right.\)

Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0;y_0) \) trên đường tròn

*

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \( N(x_N;y_N) \) nằm ngoài đường tròn

*

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

*

Ví dụ 

Viết phương trình tiếp tuyến \( d \) của đường tròn \((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0\) và đi qua điểm \( A(1;2) \).

Cách giải

\((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0 \Leftrightarrow (x+4)^2+(y+2)^2=5^2\)

Vậy đường tròn \( (C) \) có tâm \( I(-4;-2) \) và bán kính \( R=5 \)

Vì \(A(1;2)\in d \Rightarrow d: a(x-1)+b(y-2)=0\)

Do \( d \) tiếp xúc với \( (C) \) nên ta có :

\(5=d(d,(C))= \frac{|-5a-4b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Leftrightarrow \left<\begin{array}{l} b=0\\9b^2=20ab \end{array}\right. \Leftrightarrow \left<\begin{array}{l} b=0\\\frac{a}{b}=\frac{9}{20} \end{array}\right.\)

Ta chọn:

\(\left<\begin{array}{l} (a;b)=(1;0)\\ (a;b)=(9;20) \end{array}\right.\)

Vậy phương trình đường thẳng \( d \) là :

\(x-1=0\) hoặc \(9x+20y-49=0\)

Các bài toán liên quan đến phương trình Elip

Dạng bài viết phương trình Elip

*

Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip

*

Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện

Với dạng bài này ta sử dụng các tính chất sau:

*

Ví dụ 

Cho elip \((E): \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\). Tìm tất cả các điểm \( M \) trên \( (E) \) sao cho \(\widehat{F_1MF_2}=60^{\circ}\)

Cách giải 

Tọa độ hai tiêu điểm của \( (E) \) là :

\(\left\{\begin{matrix} F_1 (-\sqrt{21};0)\\ F_2 (\sqrt{21};0) \end{matrix}\right.\)

Giả sử \(M(a;b)\in (E)\) thỏa mãn \(\widehat{F_1MF_2}=60^{\circ}\)

Khi đó ta có :

\(F_1F_2^2 = MF_1^2+MF_2^2-2MF_1MF_2.\cos \widehat{F_1MF_2}\)

\(\Leftrightarrow 84=(a-\sqrt{21})^2+(a+\sqrt{21})^2+2b^2-\sqrt{(a-\sqrt{21})^2+b^2}.\sqrt{(a+\sqrt{21})^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow 84 = 2a^2+2b^2+42-\sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-\sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}=42 \hspace{1cm} (1)\)

Vì \(M \in (E)\) nên ta có :

\(\frac{a^2}{25}+\frac{b^2}{4}=1\Leftrightarrow 4a^2+25b^2=100\)

\(\Leftrightarrow a^2=25-\frac{25b^2}{4}\)

Thay vào \( (1) \) giải phương trình một ẩn \( b^2 \) ta được \(b^2=\frac{16}{21}\)

\(\Rightarrow a^2 =\frac{25.17}{21}\)

Vậy có 4 điểm \( M \) thỏa mãn là :

\((\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};\frac{4}{\sqrt{21}}) ;(-\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};\frac{4}{\sqrt{21}});(\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};-\frac{4}{\sqrt{21}});(-\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};-\frac{4}{\sqrt{21}})\)

Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao

Dạng bài toán về các đường trong tam giác

*

Ví dụ 

Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho tam giác \( ABC \) với điểm \( A(1;1) \) . Các đường cao hạ từ \( B,C \) lần lượt có phương trình là \(d_1: 2x-y+8=0; d_2:2x+3y-6=0\) . Tìm tọa độ \( B,C \) và viết phương trình đường cao kẻ từ \( A \)

Cách giải 

Ta có :

\(d_1 \bot AC \Rightarrow AC : (x-1)+2(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2y-3=0\)

\(C=AC\cap d_2\Rightarrow\) tọa độ của \( C \) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x+2y-3=0\\ 2x+3y-6=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow C(3;0)\)

Tương tự ta có \(B(-17;26)\)

Từ đó ta có phương trình đường thẳng \( BC \)

\(\frac{x-3}{-20}=\frac{y}{26}\Leftrightarrow 13x+10y+39=0\)

Do đó phương trình đường cao từ \( A \) là :

\(10(x-1)-13(y-1)=0\Leftrightarrow 10x-13y+3-0\)

Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số

*

Ví dụ 

Cho hai đường thẳng \(\left\{\begin{matrix} d_1: mx+(m-1)y+5m =0 \\ d_2: mx+(m-1)y +2=0 \end{matrix}\right.\). Tìm \( m \) để khoảng cách giữa hai đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải 

Dễ thấy 

\( d_1 \) luôn đi qua điểm \( M(-5;0) \)

\( d_2 \) luôn đi qua điểm \( N(-2;2) \)

Mặt khác

\(d(d_1,d_2)\leq MN\)

Nên để khoảng cách là lớn nhất thì \(MN \bot d_1\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}. \overrightarrow{d_1}=0\Leftrightarrow 3m+2(m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{2}{5}\)

Bài viết trên đây của nofxfans.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như cách giải của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Xem thêm: Tìm Giá Trị Của M Để Hai Vecto Nhân Nhau, Lý Thuyết Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Chúc bạn luôn học tốt!