Bài toán : mang lại

*
là các số nguyên dương với
*
là số nguyên dương tuỳ ý và
*
là một trong những nguyên tố gồm dạng
*
. Chứng tỏ rằng :

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right >" class="latex" />

không là một vài chính phương.

Bạn đang xem: Số lập phương

Lời giải 1 :

Chú ý những phân tích tiếp sau đây :

Theo hằng đẳng thức Lagrange :

*
\left < (p-1)c^2+pd^2 \right >=\left < (p-1)ac+pbd \right >^2+\left < ad\sqrtp(p-1)+bc\sqrtp(p-1) \right >^2=\left < (p-1)ac+pbd \right >^2+p(p-1)(ad+bc)^2" class="latex" />

*
\left < (p-1)c^2+pd^2 \right >\left < (p-1)x^2+py^2 \right >=\left < \left < (p-1)ac+pbd \right >^2+p(p-1)(ad+bc)^2 \right >\left < (p-1)x^2+py^2 \right >" class="latex" />

*
^2+\left < \left ( (p-1)ac+pbd \right ).y\sqrtp-\sqrtp(p-1).(ad+bc).x\sqrtp-1 \right >^2=(p-1)\left < x((p-1)ac+bd)+py(ad+bc) \right >^2+p\left < ((p-1)ac+pbd).y-(p-1).x(ad+bc) \right >^2\;\;\;(*)" class="latex" />


Ta dễ dàng dàng chứng minh được

*
bắt buộc là một số chính phương bởi nguyên lí lùi vô hạn
*


Ta chứng minh bằng quy hấp thụ tích 

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right >" class="latex" /> có thể biểu diễn được bên dưới dạng
*
. Cùng với
*
thì hiển nhiên. Gỉa sử :

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right >=(p-1)X^2+pY^2" class="latex" />

Khi kia ta tất cả :

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n+3^2+py_2n+3^2 \right >=\left < (p-1)X^2+pY^2 \right >\left < (p-1)x_2n+2^2+py_2n+2^2 \right >\left < (p-1)x_2n+3^2+py_2n+3^2 \right >" class="latex" />

Và vận dụng

*
ta quy hấp thụ thành công. Sử dụng đặc thù
*
thì việc hoàn tất.

Lời giải 2 : (Phạm quang quẻ Toàn)

Giả sử

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right >" class="latex" /> là một số trong những chính phương.

Ta có

*
\left < (p-1)b^2+pc^2 \right >=\left < (p-1)ac-pbd \right >^2+p(p-1)(ad+bc)^2=m^2++p(p-1)n^2" class="latex" />

Và

*
\left< g^2+p(p-1) h^2 \right> & = \left< p(p-1)hn-mg \right >^2+ p(p-1)(ng+hm)^2 \\ & =i^2+p(p-1)l^2. \endaligned" class="latex" />

Do đó

*
\left < (p-1)x_2^2+py_2^2 \right >...\left < (p-1)x_2n^2+py_2n^2 \right >" class="latex" /> trả toàn rất có thể biểu diễn được dưới dạng
*
. Bởi thế
*
\left < (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right>." class="latex" />

Ta gồm

*
. Vì vậy
*
tốt
*
. Bởi vì
*
là số chủ yếu phương và
*
phải ta suy ra
*
. Ta đã xét bố trường vừa lòng sau:

TH1. Nếu

*
. Hay thấy rằng
*
. Vì 
*
thiết yếu phương nên 
*
. Ta tất cả
*
đề xuất
*
. Điều này đồng nghĩa tương quan với
*
vày
*
.

Đặt

*
thì
*
. Ta gồm
*

Dễ thấy rằng giả dụ

*
." class="latex" />

Như vậy

*
là số thiết yếu phương khi còn chỉ khi
*
\left< (p-1)x_2n+1^2+py_2n+1^2 \right>" class="latex" /> là số bao gồm phương. Lập luận tương tự, ta nhận được
*
với suy ra
*
, mâu thuẫn.

TH2. Nếu

*
, lập luận tương tự như trường đúng theo 1, ta suy ra mâu thuẫn.

TH3. Nếu

*
. Đặt
*
. Khi ấy
*
\left< p(p-1)c_1^2+ y_2n+1^2 \right>" class="latex" /> là số chủ yếu phương khi và chỉ khi
*
\left< p(p-1)c_1^2+ y_2n+1^2 \right>" class="latex" /> bao gồm phương. Ta trở lại với ý tưởng lúc đầu và dẫn cho
*
. Thừa trính cứ liên tiếp tiếp diễn, ta suy ra
*
với mọi
*
. Cho nên vì vậy
*
, xích míc vì hai số này nguyên dương.

Vậy

*
quan yếu là số bao gồm phương.
*


Số bao gồm phương, số lập phương, số lũy thừaLeave a comment
Number TheoryJune 26, 2014
By Đình Huy

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2008)

 Cho

*
là một trong những tự nhiên. Biết rằng với đa số số tự nhiên và thoải mái
*
thì
*
là một lập phương đúng. Chứng tỏ
*
.

Lời giải :

Ta có

*
hầu như là lập phương đúng. để ý vì :

*

Suy ra

*
là một lập phương đúng. Đặt :

*

Chú ý nếu mà

*
1" class="latex" /> thì :

*
Number TheoryMarch 28, 2014


Bài toán : Tìm những cặp số nguyên dương

*
và thỏa mãn nhu cầu
*
và
*
phần lớn là các số thiết yếu phương.

Lời giải :

Nếu

*
ta đề nghị tìm
*
sao cho 
*

Tương đương :

*

Giải phương trình ước số này bên trên tập nghiệm nguyên dương ta nhận 

*
.

Xét 

*
, không mất tính tổng thể ta hoàn toàn có thể giả sử
*
Number TheoryJanuary 14, 2014

By Đình Huy

Bài toán : (IMO Shortlist 2008) mang lại

*
là số nguyên dương,
*
là số nguyên tố và các số nguyên
*
vừa lòng : 

*
.

Chứng minh rằng

*
.

Lời giải :

Nếu có hai trong ba số trên cân nhau thì cả ba số đều bởi nhau. Giả dụ

*
khác biệt đôi một.

Ta có

*

Nếu

*
lẻ thì 
*
cùng
*
là cùng dấu, suy ra 
*
0" class="latex" />, mâu thuẫn. Cho nên vì thế
*
chẵn.

Nếu

*
lẻ thì 
*
là một trong những lẻ. Nhưng
*
chẵn nên tổng 
*
tất cả số số hạng là một trong những chẵn, không dừng lại ở đó
*
lẻ đề xuất
*
nên khác tính chẵn lẻ. Tức là 
*

Hoàn toàn tương tự 

*

Suy ra 

*
. Mâu thuẫn.

Như vậy phải có

*
chẵn, tức
*
. Khi đó

*
.

Vì

*
chẵn nên được sắp xếp
*
ta được :

*

Nếu không nhiều nhất một trong những ba số

*
bởi
*
, mang sử
*
. Từ đưa thiết thuở đầu ta dễ dãi có hệ 
*
. Dễ ợt thấy mâu thuẫn ở đây.

Như vậy ta xét 

*
. Nếu 
*

Khi đó :

*
.

Tương tự 

*
.

Từ đó 

*
. Thuận tiện chỉ ra được vấn đề đó vô lí.

Do kia

*
, tức
*
. Khi đó thì 
*
.

Mặt khác từ giả thiết thuở đầu là 

*
ta bao gồm
*
thuộc tính chẵn lẻ. Cho nên nên trong cha số
*
sẽ có hai số bằng
*
với số sót lại bằng
*
. Tự đó tiện lợi suy ra được tía số
*
phải cân nhau (mâu thuẫn)

Kết luận : Gỉa thiết phản triệu chứng là sai, ta có

*
.


Số nguyên tố, Số chínhphươngNovember 11, 2013

By Đình Huy

Bài toán (Đề thi lựa chọn HSG lớp 12 thức giấc Đồng Nai 2013-2014) : cho những số nguyên

*
và số nhân tố
*
thỏa mãn 
*
. Cho biết thêm
*
là tổng của nhì số chính phương. Chứng minh rằng 
*
cũng chính là tổng của nhị số chủ yếu phương.

 Lời giải :

Đặt

*
với 
*

Ta có

*

Mặt khác :

*

Nên hoặc 

*
hoặc 
*

Nếu

*
thì
*

Do

*

Suy ra 

*
là tổng của nhì số chính phương.

Trường hòa hợp

*
tương tự.

Ta gồm điều đề nghị chứng minh.


Vieta Jumping, Số chínhphươngOctober 11, 2013

By Đình Huy

Bài toán : mang đến

*
là các số nguyên dương thỏa mãn 
*
. Chứng minh rằng
*
là một vài chính phương.

Lời giải :

Cố định

*
với xét tập 
*

Gỉa sử

*
ko là số chính phương.

Trong các phần tử của

*
ta lựa chọn ra cặp
*
vừa lòng
*
nhỏ nhất. Ko mất tính tổng quát, ta giả sử 
*
B>0" class="latex" />

Xét phương trình bậc hai ẩn

*
:

*

Phương trình này hiển nhiên gồm hai nghiệm là

*
và
*
.

Theo định lí

*
:

*

Từ

*
ta tất cả
*
là số nguyên.

Nếu

*

Nếu

*
thì
*
là một trong những chính phương (loại)

Nếu

*
0" class="latex" /> thì 
*
.

Từ kia :

*

By Đình Huy

Bài toán : Cho cha số nguyên dương

*
tất cả ước chung lớn nhất bằng
*
và thỏa mãn
*
. Chứng minh rằng
*
là một số trong những chính phương.

Lời giải :

Gọi 

*
.

Thay vào giả thiết :

*

Lại tất cả

*
nên 
*

Mặt khác cũng vì 

*
vì chưng
*
. Từ kia ta suy ra
*
.

Vậy : 

*
là một số chính phương.


Số bao gồm phương, số lập phương, số lũy thừa1 Comment

By Đình Huy

Bài toán : chứng minh rằng sống thọ vô số số nhân tố

*
vừa lòng tính chất :

Không trường thọ tập hợp gồm

*
số nguyên dương tiếp tục mà rất có thể phân phân thành hai tập bé rời nhau làm thế nào cho tích các bộ phận thuộc tập này bởi tích các bộ phận thuộc tập kia.

Lời giải :

Xét tập hợp 

*
tất cả
*
phần tử.

Theo đề bài thì

*
vẫn được phân thành hai tập bé mà tích các bộ phận của mỗi tập thích hợp là bằng nhau, đó đó tích 
*
cần là một số chính phương.

Nhận xét rằng trong

*
số từ bỏ nhiên thường xuyên thì có không ít nhất một số chia hết mang lại
*
.

Nếu
*
chứa một phần tử phân tách hết mang đến
*
thì khi phân loại
*
thành nhị tập nhỏ và mang tích các bộ phận của từng tập hợp sẽ có được một tích phân tách hết mang lại
*
, một tích không phân tách hết cho
*
(loại)Nếu
*
không chứa bộ phận nào phân tách hết mang đến
*
thì :

*
(Định lí
*
)

Do đó 

*
. Vì chưng
*
là số thiết yếu phương đề xuất đặt 
*

Chọn

*
 thì do 
*
, điều này vô lí. Vì vậy không sống thọ tập hợp vừa lòng đề bài. Khía cạnh khác gồm vô số số nhân tố dạng
*
yêu cầu ta bao gồm điều cần chứng minh


Những dạng bài xích số học khác Số bao gồm phương, số lập phương, số lũy thừa1 Comment

By Đình Huy

Bài toán : Tìm số thành phần

*
thoả mãn
*
là số bao gồm phương.

Lời giải :

Đặt

*

Biến thay đổi :

*

*
 Trường đúng theo 1 : nếu
*
. Đặt 
*

Khi đó nuốm vào

*
:
*

Mặt khác bao gồm

*

Coi đấy là phương trình bậc nhị ẩn

*
, điều kiện cần để tồn trên nghiệm nguyên của phương trình là :

*

Là một vài chính phương. ước ao vậy thì 

*
nên là một số trong những chính phương.

Mặt khác với

*
3" class="latex" />, ta dễ chứng tỏ được
*
Trường hợp 2 : Nếu 
*
. Đặt 
*
.

Xem thêm: Phân Tích Người Lái Đò Sông Đà Hung Bạo, Phân Tích Sông Đà Hung Bạo

Khi đó cầm cố vào

*
, được :
*

Mặt khác, ta có

*

Coi đây là phương trình bậc nhì ẩn

*
, điều kiện cần để tồn tại nghiệm nguyên của phương trình bên trên là :

*

Là số thiết yếu phương. Hy vọng vậy thì 

*
phải là số bao gồm phương.

Mặt khác ta dễ chứng tỏ được rằng cùng với

*
3" class="latex" /> thì
*
Kết luận : 
*


Phương trình nghiệm nguyên Số chính phương, số lập phương, số lũy thừa1 Comment

By Đình Huy

Số thiết yếu phương, số lập phương, số lũy thừa2 Comments
← Older posts