Tích vô hướng lớp 10

Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Góc giữa hai vectơ

1.2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

1.3. Tính chất của tích vô hướng

1.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 2 hình học 10

3.1 Trắc nghiệm về Tích vô hướng của hai vectơ

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Tích vô hướng của hai vectơ

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 2 hình học 10

Cho hai vectơ\(\vec a\)và\(\vec b\)được mô tả như hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ\(\vec a\)và\(\vec b\).

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói\(\vec a\)vuông góc với\(\vec b\).

Tích vô hướng của hai vectơ\(\vec a\)và\(\vec b\)làmột số (đại lượng đại số), được kí hiệu là\(\vec a.\vec b\)và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ\(\vec a\)tùy ý, tích vô hướng\(\vec a.\vec a\)được kí hiệu là\(|\vec a|^2\)được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: \(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Với ba vectơ\(\vec a,\vec b,\vec c\)tùy ý và một số thực k, ta có:

\(\vec a.\vec b=\vec b.\vec a\)(tính chất giao hoán)

\(\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b\)

\((k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)\)

\(\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c\)(tính chất phân phối tổng hiệu)

Ta dễ dàng chứng minh được\(MT^2=MA.MB\)thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có:\(MT^2=OM^2-OT^2\)

Theo ý trên:\(MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB}\)(vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy:\(\vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2\)

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

1.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ\(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x";y")\). Khi đó:

Bài tập minh họa

Tính tích vô hướng của\(\vec{a}(2;3)\)và\(\vec{b}(1;1)\)biết chúng tạo với nhau một góc\(30^o\)

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có:\(\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30\)

\(=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}\)

Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau:\(\vec{AD}.\vec{AB}\),\(\vec{AD}.\vec{BD}\)và\(\vec{AB}.\vec{CD}\)

Vì\(AD\perp AB\)nên\(\vec{AD}.\vec{AB}=0\)

\(\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2\)

\(\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2\)

Tính giá trị của biểu thức\(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\)biết\(sin\alpha=\frac{1}{4}\)

Ta có:\(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\)\(=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)\(=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}\)

\(=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}\)

\(=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1\)

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)

Ta có:

\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)

\(=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)\)