Tiếp theo loạt nội dung bài viết về nguyên hàm cùng tích phân, trong bài viết này chúng ta sẽ mày mò về có mang tích phân và các tính chất của tích phân.

Bạn đang xem: Tính chất tích phân

Định nghĩa tích phân

Cho  là 1 trong hàm số tiếp tục trên đoạn cùng giả sử  là một trong những nguyên hàm của  bên trên đoạn . Lúc ấy hiệu  được call là tích phân từ bỏ a cho b của hàm số .

Tích phân tự a đến b của  được ký hiệu là: 

Ta có:  (với  là một trong những nguyên hàm của )

Ta thường áp dụng ký hiệu  nhằm chỉ hiệu .

Vậy ta có: 

Ví dụ 1:  là 1 nguyên hàm của hàm số  bên trên đoạn <1;2> nên tích phân từ là một đến 2 của  là .

Vậy ta có:

Lưu ý: Ta biết rằng nếu  là một trong nguyên hàm của  bên trên thì  (với C là một vài thuộc R) cũng là 1 trong nguyên hàm của  trên . Vậy nếu như ta sử dụng nhằm tính tích phân từ a mang đến b của  thì tất cả khác đối với sử dụng  tuyệt không? Câu trả lời là không có gì khác do vì:

Vậy khi tính tích phân của  ta rất có thể sử dụng nguyên hàm là  hoặc  tùy ý. Mặc dù để tránh phức tạp thì ta hay sử dụng  (trừ một số trong những trường hợp đặc biệt).

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a)

b) 

c) 

Lưu ý: Ta có một vài quy ước sau:

1)

2)

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: với k là một trong hằng số thì ta tất cả tính chất sau:

Nghĩa là ta hoàn toàn có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3:  = 4left< left( – frac12 ight) – left( – frac11 ight) ight> = 2>

Tính chất 2: Ta tất cả thể bóc tách tích phân tự a mang lại b của một tổng hay là một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.

dx = intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x)dx >

Ví dụ 4: 

Tính chất 3: Với một số c nằm giữa a với b thì ta tất cả thể bóc tích phân từ a mang lại b thành tổng của hai tích phân từ a mang lại c và từ c cho b.

với Ví dụ 5: Tính tích phân: 

Phân tích: Ta bao gồm bảng xét vệt của  trên đoạn <0; 2>

*
*

Trên đoạn <0; 1> thì  nên .

Trên đoạn <1; 2> thì nên .

Xem thêm: Công Thức C - Công Thức Tính Nồng Độ Phần Trăm, Ví Dụ Minh Họa

Giải

< = intlimits_0^1 left( 1 – x ight)dx + intlimits_1^2 left( x – 1 ight)dx = left( x – fracx^22 ight)left| eginarrayl1\0endarray ight. + left( fracx^22 – x ight)left| eginarrayl2\1endarray ight. = 1>

Lưu ý: Trong ví dụ như 4 ta hoàn toàn có thể không cần để ý đến dấu của  mà chỉ việc đưa vết trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất ra quanh đó tích phân. Ta vẫn giải như sau:

< = left| intlimits_0^1 left( x – 1 ight)dx ight| + left| intlimits_1^2 left( x – 1 ight)dx ight| = left| eginarrayl1\0endarray ight. ight| + left| left( fracx^22 – x ight)left ight|>

< = left| frac12 ight| + left| – frac12 ight| = 1>

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các tích phân sau:

1) $$intlimits_0^1 (5x^4 – x^2 + 3)dx $$ 2) $$intlimits_0^1 (2x -2)^4 dx$$

3) $$intlimits_0^2 e^ – x + 5dx $$ 4) $$intlimits_ – 1^0 frac3 – 2x + 1 dx$$

5) $$intlimits_0^fracpi 8 cos ^22xdx $$ 6) $$intlimits_1^2 frac2x^3 – 5x^2x^2 dx$$

7) $$intlimits_1^4 dx $$ 8) $$intlimits_0^1 dx$$

Như vậy trong bài này chúng ta cần đề nghị nắm được định nghĩa tích phân cùng các đặc thù của tích phân. Giải được một số bài tập tích phân cơ bản. Trong bài xích sau ta sẽ mày mò về các phương pháp tính tích phân bao hàm phương pháp đổi trở thành loại 1, đổi biến hóa loại 2 và tích phân từng phần.