Tính diện tích s hình phẳng là 1 trong ứng dụng đặc biệt quan trọng của tích phân trong lịch trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? những dạng bài bác tập tìm diện tích hình phẳng? cách tìm diện tích s hình phẳng như nào? Trong nội dung bài viết dưới phía trên nofxfans.com để giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ đề này nhé!


Mục lục

2 phương pháp tính diện tích hình phẳng cơ bản3 cách làm tính diện tích s hình phẳng nâng cao3.2 diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng giống như khoa học kĩ thuật thì chúng ta cần buộc phải tính diện tích của những hình phẳng tinh vi mà những công thức thường thì không thể giám sát và đo lường được. Ví dụ: diện tích của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt theo đường ngang của một chiếc sông… chính vì thế ta cần áp dụng tích phân để hoàn toàn có thể tính được diện tích của các hình phức hợp đó.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường


Công thức tính diện tích s hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số và những trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) liên tục trên đoạn () thì diện tích (S) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích s ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số ( y=x^3 -x ) , đường thẳng ( x=2 ), trục tung và trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung gồm phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên vận dụng công thức nêu trên ta bao gồm :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta có :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức bao quát tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị 

Công thức tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) tiếp tục trên ( ) và hai tuyến phố thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi vật dụng thị nhị hàm số ( y= x^2+2 ) với ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta vẫn hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi đồ gia dụng thị của hai hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai đường thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng bí quyết trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán đặt ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được giới hạn bởi thứ thị cha hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các bước làm như sau:

Bước 2: diện tích s hình phẳng (S) sẽ được tính theo bí quyết :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình tìm ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình tra cứu ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi ba hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta search hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy áp dụng công thức trên ta gồm :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Khi đó diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi thứ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là hai nghiệm của Parabol

Bằng cách thay đổi đơn giản áp dụng định lí Vi-ét, từ phương pháp trên ta sẽ có :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) giỏi (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này thường được áp dụng trong những bài toán trắc nghiệm yêu thương cầu giám sát và đo lường nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hản vày Parabol ( y=x^2-5x +6 ) và trục hoành

Cách giải:

Áp dụng công thức trên với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol và mặt đường tròn

Với dạng toán này , ta phải vẽ hình sơ bộ để nhấn diện được hình phẳng nên tính diện tích rồi kế tiếp sử dụng những công thức cơ phiên bản nêu bên trên để đo lường và thống kê thích hợp.

Chú ý: với dạng bài bác này khi cần tính tích phân bọn họ sẽ yêu cầu sử dụng phương pháp đổi biến số để tính được tích phân phải tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và mặt đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) cùng với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) cần ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của con đường tròn cùng trục hoành là vấn đề (x= 2sqrt2) cùng (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia thành hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô màu sắc vàng

( S_2 ) là phần tô color đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai tuyến phố thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi mặt đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến đường thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua các ví dụ bên trên ta phân biệt công thức tính diện tích s tổng quát lác (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được sử dụng ở phần nhiều các bài xích toán. Vị vậy đây là một bí quyết cơ bản quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bài viết trên đây của nofxfans.com đã khiến cho bạn tổng hợp triết lý về các công thức diện tích s hình phẳng bởi tích phân cũng tương tự một số dạng bài xích tập tính diện tích hình phẳng.

Xem thêm: Hai Đường Chéo Của Hình Vuông Có Tính Chất Gì, Đường Chéo Hình Vuông

Hi vọng những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn luôn học tốt!