Bài viết hướng dẫn cách thức ứng dụng tích phân để tính thể tích đồ gia dụng thể (gồm đồ thể giới hạn bởi các mặt phẳng với vật thể tròn xoay) trải qua lý thuyết, phương pháp tính, quá trình giải toán với ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính thể tích
Kiến thức nên nắm:1. Thể tích của trang bị thểGiả sử đồ thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng tuy nhiên song $(alpha )$, $(eta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:$left{ eginarraylOx ot (alpha ) \Ox ot (eta )endarray ight.$ và đưa sử $left{ eginarraylOx cap (alpha ) = a\Ox cap (eta ) = bendarray ight.$Giả sử phương diện phẳng $(gamma ) cap Ox$ và $(gamma ) cap Ox = xleft( a le x le b ight)$ cắt $T$ theo một thiết diện tất cả diện tích $Sleft( x ight)$ (là hàm số thường xuyên theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của trang bị thể $T$ được cho do công thức: $V = intlimits_a^b S(x)dx .$
2. Thể tích của đồ gia dụng thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ liên tục và không âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Thể tích của đồ vật thể tròn luân phiên sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay xung quanh trục $Ox$ được cho vì chưng công thức: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$b. Cho hàm số $x = fleft( y ight)$ liên tục với không âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Tính thể tích đồ gia dụng thể tròn luân phiên sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay xung quanh trục $Oy$ được cho bởi vì công thức: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$
3. Thể tích khối nón với khối chóp, khối nón cụt với khối cầua. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích s đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được đến bởi $V = frac13Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích s hai lòng là $B_1$, $B_2$ và chiều cao $h$ được đến bởi: $V = frac13(B_1 + m B_2 + sqrt B_1..B_2 )h.$b. Thể tích của khối mong có bán kính $R$ được cho bởi: $V = frac43pi R^3.$
Dạng toán 1: Tính thể tích trang bị thểPhương pháp: Thực hiện tại theo hai bước:+ Bước 1: xác minh công thức tính diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ (hoặc $Sleft( y ight)$) thông thường bọn họ gặp thiết diện là các hình cơ bản.+ Bước 2: lúc đó: $V = intlimits_a^b S(x)dx $ (hoặc $V = intlimits_a^b S(y)dy $).
Ví dụ 1: Tính thể tích của đồ gia dụng thể:a. Nằm giữa hai phương diện phẳng $x = 0$ và $x = fracpi 2$, biết rằng tiết diện của đồ dùng thể bị giảm bởi mặt phẳng vuông góc cùng với trục $Ox$ tại điểm gồm hoành độ $x$ $left( 0 le x le fracpi 2 ight)$ là một hình vuông vắn cạnh $sqrt sin ^3x .$b. Nằm thân hai phương diện phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của đồ gia dụng thể bị giảm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ trên điểm tất cả hoành độ $x$ $left( 1 le x le 4 ight)$ là một tam giác phần nhiều cạnh là $sqrt x – 1.$
a. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được cho bởi:$Sleft( x ight) = left( sqrt sin ^3x ight)^2$ $ = m sin^3x$ $ = frac14left( 3sin x – sin 3x ight) .$Khi đó, thể tích trang bị thể được mang đến bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = frac14intlimits_0^pi /2 left( 3sin x – sin 3x ight)dx $ $ = frac14left( – 3cos x + frac13cos 3x ight)left| eginarraylpi /2\0endarray ight.$ $ = frac23.$b. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được mang đến bởi:$Sleft( x ight) = fracsqrt 3 4left( sqrt x – 1 ight)^2$ $ = fracsqrt 3 4left( x – 2sqrt x + 1 ight).$Khi đó, thể tích đồ gia dụng thể được mang đến bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = fracsqrt 3 4intlimits_1^4 left( x – 2sqrt x + 1 ight)dx $ $ = fracsqrt 3 4left( frac12x^2 – frac43x^frac32 + x ight)left| _1^4 ight.$ $ = frac7sqrt 3 24.$
Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích thứ thể trên:+ Ở câu 1.a bởi vì thiết diện là hình vuông vắn (giả sử cạnh bằng $a$) cần ta tất cả ngay $S = a^2$.+ Ở câu 1.b vị thiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh bởi $a$) nên ta tất cả ngay $S = fraca^2sqrt 3 4.$
Chú ý: Trong một số trường hợp họ cần tra cứu cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập cấu hình điều kiện không âm cho hàm số $fleft( x ight)$ (hoặc $f(y)$).
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = e^x$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = 3 – x^2$, trục tung và mặt đường thẳng $y = 1.$
a. Thể tích đồ dùng thể được mang đến bởi: $V = pi intlimits_0^3 y^2dx $ $ = pi intlimits_0^3 e^2xdx $ $ = fracpi 2e^2xleft| _0^3 ight.$ $ = fracpi 2(e^6 – 1).$b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 3 – y$ (cần có điều kiện $3 – y ge 0$ $ Leftrightarrow y le 3$).Khi đó, thể tích đồ gia dụng thể được đến bởi: $V = pi intlimits_1^3 x^2dy $ $ = pi intlimits_1^3 (3 – y)dy $ $ = pi left( 3y – fracy^22 ight)left| _1^3 ight.$ $ = 2pi .$
Nhận xét: Như vậy, để tính những thể tích khối tròn luân phiên trên:+ Ở câu 2.a chúng ta sử dụng ngay cách làm trong dạng 1.+ Ở câu 2.b họ cần thực thêm công việc thay đổi hàm số về dạng $x = fleft( y ight)$ và ở đây nhờ đk có nghĩa của $y$ chúng ta nhận ra cận $y = 3.$
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta con quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = m y = 0;y = sqrt 1 + cos ^4x + sin ^4x ;$ $x = fracpi 2;x = pi m .$b. $H = m y = 0;y = sqrt cos ^6x + sin ^6x ;$ $x = 0;x = fracpi 2 m .$
a. Thể tích đồ gia dụng tròn xoay yêu cầu tính được mang đến bởi:$V = pi intlimits_pi /2^pi (1 + cos ^4x + sin ^4x) dx$ $ = pi intlimits_pi /2^pi (frac7 – cos 4x4)dx $ $ = pi left( frac74x – frac116sin 4x ight)left| eginarraylpi \pi /2endarray ight.$ $ = frac78pi ^2$ (đvtt).b. Thể tích đồ vật thể tròn xoay phải tính là:$V = pi intlimits_0^pi /2 (cos ^6x + sin ^6x)dx$ $ = pi intlimits_0^pi /2 (1 – frac34sin ^22x)dx $ $ = pi intlimits_0^pi /2 (frac58 + frac38cos 4x)dx $ $ = pi left( frac58x + frac332sin 4x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight.$ $ = frac5pi ^216$ (đvtt).
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo cho khi ta tảo hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = left y = 3ax – x^2left( a > 0 ight),y = 0 ight.$b. $H = left y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e ight.$
a. Phương trình hoành độ giao điểm của $left( p
ight)$ và $Ox$ là:$3ax – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$Khi đó, thể tích cần xác minh được mang lại bởi:$V = pi intlimits_0^3a (3ax – x^2)^2dx $ $ = pi intlimits_0^3a (x^4 – 6ax^3 + 9a^2x^2)dx $ $ = pi left( frac15x^5 – frac3a2x^4 + 3a^2x^3
ight)left| eginarrayl3a\0endarray
ight.$ $ = frac81a^5pi 10$ (đvtt).b. Thể tích vật thể tròn xoay đề nghị tính là:$V = pi intlimits_1^e (xln x)^2 dx$ $ = pi intlimits_1^e x^2ln ^2x dx.$Để tính tích phân bên trên ta sử dụng phương thức tích phân từng phần, đặt:$left{ eginarraylu = ln ^2x\dv = x^2dxendarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac2xln xdx\v = frac13x^3endarray
ight.$Khi đó: $V = pi left( frac13x^3ln ^2x
ight)left| eginarrayle\1endarray
ight.$ $ – frac2pi 3intlimits_1^e x^2ln x dx$ $ = fracpi e^33 – frac2pi 3underbrace intlimits_1^e x^2ln x dx_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac1xdx\v = frac13x^3endarray
ight.$Khi đó: $I = frac13x^3lnxleft| _1^e
ight. – frac13 intlimits_1^e x^2dx $ $ = frace^33 – frac19x^3left| _1^e
ight.$ $ = frac2e^39 + frac19$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = fracpi (5e^3 – 2)27$ (đvtt).
Xem thêm: Tên Tiếng Anh Của Bạn La Gì, Cách Dịch Tên Tiếng Việt Sang Tiếng Anh
Dạng toán 3: Tính thể tích thiết bị thể tròn xoay dạng 2Phương pháp: Ta bao gồm hai dạng sau:+ Dạng 1: bí quyết tính thể tích thiết bị thể tròn xoay sinh vị miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$ quay xung quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b dx .$+ Dạng 2: cách làm tính thể tích đồ gia dụng thể tròn luân phiên sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn vì chưng $x = fleft( y ight)$, $x = gleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b f^2(y) – g^2(y) ight .$
Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay chế tác thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi thứ thị nhì hàm số $y = x^2$ và $y = 2 – x^2.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – x^2.$
a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x^2 = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Thể tích đồ gia dụng tròn xoay nên tính là:$V = pi intlimits_ – 1^1 left $ $ = pi intlimits_ – 1^1 left $ $ = 4pi intlimits_ – 1^1 (1 – x^2)dx $ $ = 4pi left( x – fracx^33 ight)left| _ – 1^1 ight.$ $ = frac16pi 3.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1 Rightarrow y = 1\x = -2 Rightarrow y = -2endarray ight.$Thể tích đồ gia dụng thể được mang lại bởi:$V = pi intlimits_ – 2^1 dy $ $ = frac92pi .$
Ví dụ 6: Cho hình tròn $left( C ight)$ tâm $Ileft( 0;2 ight)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo ra thành khi:a. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Ox$.b. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$.
Đường tròn $(C)$ có phương trình: $left( C ight):x^2 + (y – 2)^2 = 1.$
a. Ta có:Ta phân chia đường tròn $(C)$ thành $2$ mặt đường cong như sau:+ Nửa $left( C ight)$ ở trên ứng với $2 le y le 3$ tất cả phương trình: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.+ Nửa $left( C ight)$ ở dưới ứng với $1 le y le 2$ gồm phương trình: $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.Khi đó, thể tích đồ thể tròn xoay phải tính được sinh bởi hình tròn trụ $(C)$ số lượng giới hạn bởi những đường: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $, $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được xem theo công thức: $V = pi intlimits_ – 1^1 left dx$ $ = 8pi intlimits_ – 1^1 sqrt 1 – x^2 dx$ $ = 4pi ^2.$b. Khi quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$ ta nhận thấy khối tròn xoay đó là hình cầu buôn bán kính $R = 1$, do đó: $V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .$
Ví dụ 7: Tính thể tích thứ thể tạo vị hình elip $left( E ight):fracleft( x – 4 ight)^24 + fracy^216 le 1$ quay quanh trục $Oy.$
Elip $left( E ight)$ có tâm $Ileft( 4,0 ight)$, trục lớn có độ dài $2a = 8$, trục nhỏ tuổi có độ dài $2b = 4.$
Ta chia đường biên giới của elip $(E)$ thành $2$ mặt đường cong như sau:+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $2 le x le 4$ bao gồm phương trình: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $4 le x le 6$ có phương trình: $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$Thể tích đồ dùng thể tròn xoay buộc phải tính được sinh do miền $E$ số lượng giới hạn bởi những đường: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $, $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $, $y = -4$, $y = 4$ xoay quanh trục $Oy$ được tính theo công thức:$V = pi intlimits_ – 4^4 left( f_2^2(y) – f_1^2(y) ight) dy$ $ = 32pi intlimits_ – 4^4 sqrt 1 – fracy^216 dy$ $ = 64pi ^2.$