Bài viết trình diễn công thức tính thể tích khối hộp và một trong những ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết.
Bạn đang xem: V khối hộp
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNGHình hộp: là hình lăng trụ tứ giác tất cả đáy là hình bình hành.Hình hộp có $6$ khía cạnh là hình bình hành, $4$ đường chéo cánh đồng qui tại tâm hình hộp.Thể tích của khối hộp bởi tích số của diện tích mặt dưới và chiều cao của khối hộp đó.Hình hộp chữ nhật: là hình vỏ hộp đứng và tất cả đáy là hình chữ nhật.Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ form size thì bao gồm đường chéo: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2 $, diện tích toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ và thể tích khối hộp chữ nhật: $V = abc.$Hình lập phương: là hình vỏ hộp chữ nhật bao gồm $3$ kích cỡ bằng nhau.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì có đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích s toàn phần: $S = 6a^2$ với thể tích khối lập phương: $V = a^3.$
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNGBài toán 1: Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, biết rằng $AA’B’D’$ là khối tứ diện các cạnh $a.$
Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều đề xuất đường cao $AH$ của nó bao gồm hình chiếu $H$ là trung ương của tam giác hầu như $A’B’D’.$Suy ra: $A’H = fracasqrt 3 3$, $AH = sqrt AA‘^2 – A"H^2 = fracasqrt 6 3.$Ta tất cả đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi có góc $B’A’D’$ bằng $60°$ nên:$S_A’B’C’D’ = A’B’.A’D’sin 60^0 = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy thể tích khối vỏ hộp đã mang đến là: $V = S.h = fraca^2sqrt 3 2 cdot fracasqrt 6 3 = fraca^3sqrt 2 2.$
Bài toán 2: mang đến khối vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có toàn bộ các cạnh đều nhau và bằng $a$, $widehat A_1AB = widehat BAD = widehat A_1AD = alpha $ $left( {0^0 Tam giác $A_1BD$ cân (do $A_1B = A_1D$).Suy ra $BD ot A_1O.$Mặt khác $BD ot AC.$Suy ra: $BD ot left( A_1AO ight)$ $ Rightarrow BD ot A_1H.$Do kia $A_1H ot (ABCD).$Đặt $widehat A_1AD = varphi .$Hạ $A_1K ot AD$ $ Rightarrow HK ot AK$.Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = fracAHAA_1 cdot fracAKAH = fracAKAA_1$ $ = cos varphi $ bắt buộc $cos varphi = fraccos alpha cos fracalpha 2.$Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – fraccos ^2alpha cos ^2fracalpha 2 $ $ = fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$$V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$
Bài toán 3: cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy là hình chữ nhật cùng với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ cùng các ở kề bên bằng $1.$ hai mặt bên $(ABB’A’)$ cùng $(ADD’A’)$ lần lượt chế tác với đáy phần lớn góc $45°$ và $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.
Xem thêm: Pu Nghĩa Là Gì, Nghĩa Của Từ Pu, Pu Là Gì, Nghĩa Của Từ Pu
Hạ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AD$, $HK ot AB.$Ta có: $AD ot A’M$, $AB ot A’K.$$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$Đặt $A’H = x.$Khi đó:$A’M = x:sin 60^0 = frac2xsqrt 3 .$$AM = sqrt AA‘^2 – A"M^2 $ $ = sqrt frac3 – 4x^23 = HK.$Mà $HK = xcot 45^0 = x$ bắt buộc $x = sqrt frac3 – 4x^23 Rightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac37 = 3.$
Bài toán 4: đến khối lăng trụ tứ giác phần đông $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AB$ với $A_1D$ bởi $2$ và độ lâu năm đường chéo của mặt bên bằng $5.$a) Hạ $AK ot A_1D$ $left( K in A_1D ight).$ chứng minh rằng: $AK = 2.$b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$
a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( A_1B_1D ight).$$ Rightarrow dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight).$Ta có: $A_1B_1 ot left( AA_1D_1D ight)$ $ Rightarrow A_1B_1 ot AK.$Mặt khác: $A_1D ot AK$ $ Rightarrow AK ot left( A_1B_1D ight).$Vậy $AK = dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight) = 2.$b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$Với $x = 1$, $AD = sqrt AK^2 + KD^2 = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt A_1D^2 – AD^2 = sqrt 5 .$Khi kia $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 20sqrt 5 .$Với $x = 4$, tương tự ta có: $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 10sqrt 5 .$
Bài toán 5: mang lại hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có toàn bộ các cạnh đều bởi $d$ và bố góc của đỉnh $A$ đều bằng $60°.$a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích $V$ của hình hộp.b) Tính khoảng cách giữa hai mặt tuy nhiên song của hình hộp.c) có thể cắt hình hộp bởi một phương diện phẳng thế nào cho thiết diện dấn được là 1 trong hình vuông?
a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = fracd^22.$Ta có: $overrightarrow AC‘^2 = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$Ta có: $overrightarrow BD’ ^2 = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$Tương tự $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ buộc phải ta gồm $AA’BD$ là hình tứ diện phần nhiều cạnh $d$, nên: $V_left( AA’BD ight) = fracd^3sqrt 2 12.$Do kia $V = 6V_AA’BD = fracd^3sqrt 2 12.$b) hotline $h$ là khoảng cách giữa nhì mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A’B’C’D’)$ thì:$V = S_ABCD.h = fracd^2sqrt 3 2$ $ Rightarrow h = fracdsqrt 6 2.$Tương tự thì các khoảng cách giữa hai mặt tuy nhiên song nào cũng bằng $fracdsqrt 6 2.$c) Hình bình hành $BCD’A’$ có các cạnh bằng $d$ và hai đường chéo cánh bằng $dsqrt 2 $ nên nó là hình vuông.Vậy hình hộp bao gồm thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.Tương tự thiết diện $CDA’B’$ cũng là hình vuông.
Bài toán 6: đến hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy là hình vuông cạnh bằng $asqrt 3 $, $A$ phương pháp đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ giữa trung tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ mang đến mặt phẳng $(AA’D’)$ bởi $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã mang lại và khoảng cách từ trọng điểm $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ mang lại mặt phẳng $(ADC’B’).$
Vì $G$ là trung tâm của tam giác $AB’D’$ yêu cầu $G$ vị trí đoạn trực tiếp $AO$ và $AG = frac23AO.$Ta có: $dleft( O;left( AA’D ight) ight) = frac32d(G,(AA’D)) = frac3a4.$Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$Hạ $OH ot AM$ thì $OH ot left( AA’D’ ight).$Do kia $OH = dleft( O;left( AA’D’ ight) ight) = frac3a4.$Tam giác $AOM$ vuông tại $O:$$frac1OH^2 = frac1OA^2 + frac1OM^2$ $ Leftrightarrow frac169a^2 = frac1OA^2 + frac43a^2$ $ Rightarrow OA = frac3a2.$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.OA = 3a^2.frac3a2 = frac9a^32.$Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK ot AN.$Ta gồm $OK ot left( ADC’B’ ight)$ nên $OK = dleft( O,left( ADC’B’ ight) ight).$Tam giác $AON$ vuông tại $O:$$frac1OK^2 = frac1OA^2 + frac1ON^2$ $ = frac49a^2 + frac43a^2 = frac169a^2$ $ Rightarrow OK = frac3a4.$Vậy khoảng cách từ trung khu $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ mang lại mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac3a4.$
Bài toán 7: mang lại hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ với cosin của góc giữa hai tuyến đường thẳng $AC$ với $BB’.$
Ta bao gồm $O$ là trung khu của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ cần $BO ot left( A’B’C’D’ ight).$Tam giác vuông $ABC:$$BC = sqrt AC^2 – AB^2 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Tam giác vuông $BOB’$ ta có:$BO = sqrt BB‘^2 – B"O^2 $ $ = sqrt BB‘^2 – fracAC^24 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Nên $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$Ta bao gồm $cos left( AC,BB’ ight) = cos left( A’C’,AA’ ight) = left| cos widehat AA’O ight|.$Vì $BO ot (ABCD) Rightarrow BO ot AB.$Tam giác $ABO$ vuông cân nặng tại $B:$ $AO = sqrt AB^2 + BO^2 $ $ = sqrt 3a^2 + 9a^2 = 2asqrt 3 .$Áp dụng định lý cosin trong tam giác $AA’O$ ta có:$cos widehat AA’O = fracA"A^2 + A"O^2 – AO^22A’A.A’O$ $ = frac12a^2 + 3a^2 – 12a^22.2asqrt 3 .asqrt 3 = frac14.$Vậy $cos left( AC,BB’ ight) = frac14.$
Bài toán 8: mang lại hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa con đường thẳng $B’C$ cùng mặt phẳng $(ACC’A’)$ bằng $30°.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AM$, $DD’$ cùng với $M$ là trung điểm của $CC’.$
Hạ $BH ot A’C’$ thì có $BH ot left( ACC’A’ ight).$Từ đó suy ra góc thân $B’C$ với mặt phẳng $left( ACC’A’ ight)$ bằng $widehat B’CH.$Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có:$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac12 ight) = 7a^2.$Suy ra $AC = asqrt 7 .$Ta có: $B’H = frac2S_A’B’C’A’C’ = fracB’A’.B’C’.sin 120^0A’C’$ $ = fraca.2a.fracsqrt 3 2asqrt 7 = fracasqrt 21 7.$Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = fracB’Hsin 30^0 = frac2asqrt 21 7.$Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B"C^2 – BC^2 $ $ = sqrt frac84a^249 – a^2 = fracasqrt 35 7.$Nên: $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.fracsqrt 3 2.fracasqrt 35 7 = fraca^3.sqrt 105 7.$Ta bao gồm $AM$ tuy nhiên song với $(ACC’A’).$Do đó $dleft( DD’,AM ight)$ $ = dleft( DD’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( D’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( B’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = B’H = fracasqrt 21 7.$